場の量子論 において、ゲルマン＝ロウの定理 （ゲルマンロウのていり、英 : Gell-Mann and Low theorem ）とは、断熱的に相互作用 を導入した際に、相互作用がある系の固有状態 が相互作用がない系の固有状態の時間発展と対応づけられることを主張する定理[ 1] マレー・ゲルマン とフランシス・E・ロウによって示された[ 2] n点相関関数 はハイゼンベルク描像 における場の演算子 の時間順序積 の真空期待値 として定義されるが、ゲルマン＝ロウの定理により、相互作用描像 での真空期待値として計算することが可能になる[ 3]
ハミルトニアン
H
{\displaystyle H}
H
=
H
0
+
V
{\displaystyle H=H_{0}+V}
H
0
{\displaystyle H_{0}}
V
{\displaystyle V}
H
(
t
)
=
H
0
+
e
−
ϵ
|
t
|
V
{\displaystyle H(t)=H_{0}+e^{-\epsilon |t|}\,V}
ここで
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϵ
→
0
+
{\displaystyle \epsilon \to 0+}
t
=
−
∞
{\displaystyle t=-\infty }
H
(
−
∞
)
{\displaystyle H(-\infty )}
H
0
{\displaystyle H_{0}}
t
=
−
∞
{\displaystyle t=-\infty }
t
=
0
{\displaystyle t=0}
H
(
0
)
{\displaystyle H(0)}
H
0
+
V
{\displaystyle H_{0}+V}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
t
=
+
∞
{\displaystyle t=+\infty }
H
(
+
∞
)
{\displaystyle H(+\infty )}
H
0
{\displaystyle H_{0}}
|
Ψ
0
⟩
{\displaystyle |\Psi _{0}\rangle }
H
0
{\displaystyle H_{0}}
E
0
{\displaystyle E_{0}}
|
Ψ
ϵ
±
⟩
:=
U
ϵ
I
(
0
,
±
∞
)
|
Ψ
0
⟩
⟨
Ψ
0
|
U
ϵ
I
(
0
,
±
∞
)
|
Ψ
0
⟩
{\displaystyle |\Psi _{\epsilon }^{\pm }\rangle :={\frac {U_{\epsilon \,I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle }{\langle \Psi _{0}|U_{\epsilon \,I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle }}}
ここで、
U
ϵ
I
(
t
,
s
)
{\displaystyle U_{\epsilon \,I}(t,s)}
U
ϵ
I
(
t
,
s
)
=
e
+
i
ℏ
H
0
t
U
ϵ
(
t
,
s
)
e
−
i
ℏ
H
0
t
{\displaystyle U_{\epsilon \,I}(t,s)=e^{+{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}U_{\epsilon }(t,s)e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}}
である。
ゲルマン＝ロウの定理は、
ϵ
→
0
+
{\displaystyle \epsilon \to 0+}
|
Ψ
ϵ
±
⟩
{\displaystyle |\Psi _{\epsilon }^{\pm }\rangle }
|
Ψ
±
⟩
{\displaystyle |\Psi ^{\pm }\rangle }
|
Ψ
±
⟩
{\displaystyle |\Psi ^{\pm }\rangle }
H
=
H
0
+
V
{\displaystyle H=H_{0}+V}
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (x)}
基底状態 、すなわち、自由真空
|
0
⟩
0
{\displaystyle |0\rangle {}_{0}}
|
0
⟩
0
{\displaystyle |0\rangle {}_{0}}
真空 を
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
⟨
0
|
T
ϕ
(
x
1
)
ϕ
(
x
2
)
⋯
ϕ
(
x
n
)
|
0
⟩
=
0
⟨
0
|
T
ϕ
I
(
x
1
)
ϕ
I
(
x
2
)
⋯
ϕ
I
(
x
n
)
exp
(
−
i
ℏ
∫
V
I
(
t
)
d
t
)
|
0
⟩
0
0
⟨
0
|
T
exp
(
−
i
ℏ
∫
V
I
(
t
)
d
t
)
|
0
⟩
0
{\displaystyle \langle 0|T\phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})|0\rangle ={\frac {{}_{0}\langle 0|T\phi _{I}(x_{1})\phi _{I}(x_{2})\cdots \phi _{I}(x_{n})\exp {{\biggl (}-{\frac {i}{\hbar }}\int V_{I}(t)dt{\biggr )}}|0\rangle {}_{0}}{{}_{0}\langle 0|T\exp {{\biggl (}-{\frac {i}{\hbar }}\int V_{I}(t)dt{\biggr )}}|0\rangle {}_{0}}}}
^ Alexander L. Fetter and John Dirk Walecka (2003) ^ Gell-Mann and F. Low, Phys. Rev. , 84 , 350 (1951) ^ Michael Stone (2000)
論文
書籍
Alexander L. Fetter and John Dirk Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems , Dover Publications (2003) ISBN 978-0486428277
Michael Stone, The Physics of Quantum Fields (Graduate Texts in Contemporary Physics) , Springer (2000) ISBN 978-0387989099
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