グラム・シュミットの正規直交化法の使用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/28 14:18 UTC 版)
「QR分解」の記事における「グラム・シュミットの正規直交化法の使用」の解説
詳細は「グラム・シュミットの正規直交化法」を参照 グラム・シュミットの正規直交化法を最大階数行列の列 A = [ a 1 , … , a n ] {\displaystyle A=\left[{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n}\right]} に適用することを考える。内積 ⟨ v , w ⟩ = v T w {\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\rangle ={\boldsymbol {v}}^{\textsf {T}}{\boldsymbol {w}}} (複素ベクトルの場合 ⟨ v , w ⟩ = v ∗ w {\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\rangle ={\boldsymbol {v}}^{*}{\boldsymbol {w}}} )とする。 射影の定義より、 proj u a = ⟨ u , a ⟩ ⟨ u , u ⟩ u {\displaystyle \operatorname {proj} _{\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {a}}={\frac {\left\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {a}}\right\rangle }{\left\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}}\right\rangle }}{\boldsymbol {u}}} したがって、 u 1 = a 1 , e 1 = u 1 ‖ u 1 ‖ u 2 = a 2 − proj u 1 a 2 , e 2 = u 2 ‖ u 2 ‖ u 3 = a 3 − proj u 1 a 3 − proj u 2 a 3 , e 3 = u 3 ‖ u 3 ‖ ⋮ ⋮ u k = a k − ∑ j = 1 k − 1 proj u j a k , e k = u k ‖ u k ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}_{1}&={\boldsymbol {a}}_{1},&{\boldsymbol {e}}_{1}&={{\boldsymbol {u}}_{1} \over \|{\boldsymbol {u}}_{1}\|}\\{\boldsymbol {u}}_{2}&={\boldsymbol {a}}_{2}-\operatorname {proj} _{{\boldsymbol {u}}_{1}}\,{\boldsymbol {a}}_{2},&{\boldsymbol {e}}_{2}&={{\boldsymbol {u}}_{2} \over \|{\boldsymbol {u}}_{2}\|}\\{\boldsymbol {u}}_{3}&={\boldsymbol {a}}_{3}-\operatorname {proj} _{{\boldsymbol {u}}_{1}}\,{\boldsymbol {a}}_{3}-\operatorname {proj} _{{\boldsymbol {u}}_{2}}\,{\boldsymbol {a}}_{3},&{\boldsymbol {e}}_{3}&={{\boldsymbol {u}}_{3} \over \|{\boldsymbol {u}}_{3}\|}\\&\vdots &&\vdots \\{\boldsymbol {u}}_{k}&={\boldsymbol {a}}_{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proj} _{{\boldsymbol {u}}_{j}}\,{\boldsymbol {a}}_{k},&{\boldsymbol {e}}_{k}&={{\boldsymbol {u}}_{k} \over \|{\boldsymbol {u}}_{k}\|}\end{aligned}}} ここで a i {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{i}} を新しく計算された正規直交基底上に表すことができ、 ⟨ e i , a i ⟩ = ‖ u i ‖ {\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {e}}_{i},{\boldsymbol {a}}_{i}\right\rangle =\left\|{\boldsymbol {u}}_{i}\right\|} であるから、 a 1 = ⟨ e 1 , a 1 ⟩ e 1 a 2 = ⟨ e 1 , a 2 ⟩ e 1 + ⟨ e 2 , a 2 ⟩ e 2 a 3 = ⟨ e 1 , a 3 ⟩ e 1 + ⟨ e 2 , a 3 ⟩ e 2 + ⟨ e 3 , a 3 ⟩ e 3 ⋮ a k = ∑ j = 1 k ⟨ e j , a k ⟩ e j {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}_{1}&=\langle {\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{1}\rangle {\boldsymbol {e}}_{1}\\{\boldsymbol {a}}_{2}&=\langle {\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{2}\rangle {\boldsymbol {e}}_{1}+\langle {\boldsymbol {e}}_{2},{\boldsymbol {a}}_{2}\rangle {\boldsymbol {e}}_{2}\\{\boldsymbol {a}}_{3}&=\langle {\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{3}\rangle {\boldsymbol {e}}_{1}+\langle {\boldsymbol {e}}_{2},{\boldsymbol {a}}_{3}\rangle {\boldsymbol {e}}_{2}+\langle {\boldsymbol {e}}_{3},{\boldsymbol {a}}_{3}\rangle {\boldsymbol {e}}_{3}\\&\vdots \\{\boldsymbol {a}}_{k}&=\sum _{j=1}^{k}\langle {\boldsymbol {e}}_{j},{\boldsymbol {a}}_{k}\rangle {\boldsymbol {e}}_{j}\end{aligned}}} これは行列の形に書くことができ、 A = Q R {\displaystyle A=QR} ただし、 Q = [ e 1 , … , e n ] , {\displaystyle Q=\left[{\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\right],} R = [ ⟨ e 1 , a 1 ⟩ ⟨ e 1 , a 2 ⟩ ⟨ e 1 , a 3 ⟩ … 0 ⟨ e 2 , a 2 ⟩ ⟨ e 2 , a 3 ⟩ … 0 0 ⟨ e 3 , a 3 ⟩ … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ] {\displaystyle R={\begin{bmatrix}\langle {\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{1}\rangle &\langle {\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{2}\rangle &\langle {\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{3}\rangle &\ldots \\0&\langle {\boldsymbol {e}}_{2},{\boldsymbol {a}}_{2}\rangle &\langle {\boldsymbol {e}}_{2},{\boldsymbol {a}}_{3}\rangle &\ldots \\0&0&\langle {\boldsymbol {e}}_{3},{\boldsymbol {a}}_{3}\rangle &\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}
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