クルルの交叉定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/21 18:13 UTC 版)
「アルティン・リースの補題」の記事における「クルルの交叉定理の証明」の解説
環の完備化における使用に加えて、補題の典型的な応用はクルルの交叉定理 (Krull's intersection theorem) ネーター局所環の真のイデアル I に対して、 ⋂ n = 1 ∞ I n = 0 {\displaystyle \textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0} の証明である。共通部分 N に補題を適用すれば、ある k が存在して I k + 1 ∩ N = I ( I k ∩ N ) {\displaystyle I^{k+1}\cap N=I(I^{k}\cap N)} が成り立つ。すると N = I N {\displaystyle N=IN} なので中山の補題によって N = 0 {\displaystyle N=0} である。
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