クラマース・クローニッヒ解析

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クラマース・クローニッヒの関係式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/26 05:58 UTC 版)

クラマース・クローニッヒの関係式（—かんけいしき、英: Kramers–Kronig relation）とは、線形応答における周波数応答関数の実部と虚部がヒルベルト変換で関係づけられていることを示した式である。 1926年にラルフ・クローニッヒ、1927年にヘンリク・アンソニー・クラマースによって電磁波の分散現象に対して導かれた。

クラマース・クローニッヒの関係式

周波数応答関数H(ω)=H_R(ω)+i H_I(ω)に対して(ただし、H_R はHの実部、H_I はHの虚部である。)

${\begin{aligned}H_{\text{R}}(\omega )&={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H_{\text{I}}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '\\H_{\text{I}}(\omega )&=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H_{\text{R}}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '\end{aligned}}$

クラマース・クローニッヒの関係式の導出における複素積分

またH(ω) を複素平面に解析接続した複素関数H(z) が、実軸より上側で正則かつ|z|→∞ で一様にH(z)→0 であるときにはH(ω) がクラマース・クローニッヒの関係式を満たすことを示すことができる。

H(z)/(z-ω) を複素平面上で、以下の4つの区間からなる閉曲線上で複素積分する。

1. 実軸上の(-R, 0)→(ω - r, 0)
2. (ω, 0)を中心とする半径r の半円(ω - r, 0)→(ω + r, 0)
3. 実軸上の(ω + r,0)→(R, 0)
4. 原点を中心とする半径Rの半円(R, 0)→(-R, 0)

実軸より上側で正則であるという条件から、コーシーの積分定理によりこの閉曲線上の積分は0になる。 ここでR→∞、r→0の極限をとると区間4の積分は|z|→∞で一様にH(z)→0の条件より0となる。 区間2の積分はr→0で-iπH(ω)となる。 したがって区間1と3の積分の和はR→∞、r→0の極限で

$\lim _{R\to \infty ,r\to 0}\left\{\int _{-R}^{\omega -r}{\frac {H(z)}{z-\omega }}\,dz+\int _{\omega +r}^{R}{\frac {H(z)}{z-\omega }}\,dz\right\}={\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(z)}{z-\omega }}\,dz=i\pi H(\omega )$ この項目は、物理学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:物理学／Portal:物理学）。