キャプスタン方程式

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キャプスタン方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/09/28 15:47 UTC 版)

キャプスタン方程式の知識があればよかった事例。曲がった白色の管にはカーテンを上げ下げするための紐が通っているが、管は2か所で40度ほど曲がっている。青い線のように設計すればより効率的であった。

トールシップで帆を揚げるのにハンドキャプスタン、パワードキャプスタンが使用されている例。

キャプスタン方程式（キャプスタンほうていしき、英: capstan equation）、別称ベルト摩擦方程式（英: belt friction equation）、アイテルワインの公式（英: Eytelwein's formula）は、しなやかなロープがボラード、ウインチ、キャプスタン等の円筒に巻き付けられているときに、荷重による張力（load-force）と巻き取りの張力（hold-force）とを結びつける等式である 。

張力と摩擦力が作用しあうため、キャプスタンに巻かれたロープにかかる張力は両端で異なっていると考えられ、小さな張力を他端においてより大きな力に変えることができる。これがキャプスタン型の器械の原理である。

手動キャプスタンはラチェット型の機構で、一方向にしか回転しない。一旦その方向へ動き出せば、ぐっと小さな力で引っ張ることができる。パワードキャプスタン（ウインチとも呼ばれる）は回転によってロープとキャプスタンの間の摩擦を増大させるものである。トールシップでは手動キャプスタンとパワードキャプスタンが併せて用いられる。小さい力で重い帆が揚げられるようにし、またパワードキャプスタンからのロープの取り外し、ロープ解きが簡単にできるようになっている。

トップロープクライミングと呼ばれるロッククライミングで、体重の軽い人間がより重い人間を支える（ビレイする）ことができるのはこの効果のためである。

公式は次の通り。

$T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}\ e^{\mu \phi }$

ロープとキャプスタンの間の力

最初のステップは、キャプスタンに巻き付くロープの任意の点での、半径方向の力（垂直抗力） $F$（ニュートン毎ラジアン） を図に示すような張力 $T$（ニュートン）と結び付けることである。キャプスタンがロープに与える y 軸上向きの力 $F$ は、ロープの張力の y 軸下向き成分 $T_{\text{load}}\sin(\varphi )$ と等しい。

$F=T_{\text{load}}\sin(\varphi )$

$\varphi$ を0に近づけるとき（微小角度近似）、 $\sin(d\varphi )=d\varphi$ となり、

$T_{\text{hold}}=T_{\text{load}}=T$

$F=Td\varphi$

よって角度 $d\varphi$ の間にはたらく摩擦力は

$\mu {F}=\mu {T}d\varphi$ （ $\mu$ は摩擦係数）

となる。角度 $d\varphi$ の間の張力の増し高 $dT$ はこの区間にはたらく摩擦力に等しいから

$dT=\mu {T}d\varphi$

${\frac {1}{T}}dT=\mu d\varphi$

両辺を積分して

$\int _{T_{\text{hold}}}^{T_{\text{load}}}{\frac {1}{T}}\;{dT}=\int _{0}^{\phi }\mu \;{d}\varphi$

$\ln T_{\text{load}}-\ln T_{\text{hold}}=\ln {\frac {T_{\text{load}}}{T_{\text{hold}}}}=\mu \phi$

両辺の指数をとって

${\frac {T_{\text{load}}}{T_{\text{hold}}}}={e}^{\mu \phi }$

最終的に次式が得られる。

$T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}{e}^{\mu \phi }$

キャプスタン方程式のVベルトへの一般化

Vベルトに対するベルト摩擦方程式は

$T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}{e}^{\mu \phi /\sin(\alpha /2)}$

ここで $\alpha$ はVベルトが相対するプーリーを挟む2枚のベルトがなす角（ラジアン）である。 $\alpha =\pi$ のところで効果的になる。

Vベルトや複数のVベルトが組み合わさったサーペンタインベルトでは、負荷が増すにつれてベルトがプーリーの溝に食い込んでいき（wedge into, くさびのようになり）、これがトルクの伝動効率を高めている。

同じ力を伝動をするのに、Vベルトは平ベルトと比べて張力がより小さくて済み、軸受の寿命を長くすることができる。

関連項目

• ベルト摩擦
• 摩擦接触力学

さらに詳しく

• Arne Kihlberg, Kompendium i Mekanik för E1, del II, Göteborg 1980, 60–62. （アーネ・キールベルク『力学概論（E1向け、第2部）』、イェーテボリ）

外部リンク

• Capstan equation calculator