イギリス国旗の定理

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イギリス国旗の定理

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赤い正方形の面積の和と青い正方形の面積の和は等しい。

ユークリッド空間において、茶色の四角形が長方形であるとき、赤い正方形の面積の和と青い正方形の面積の和は等しい。

ユークリッド幾何学において、イギリス国旗の定理^{[訳語疑問点]}（イギリスこっきのていり、英:British flag theorem）または英国旗の定理^{[訳語疑問点]}とは長方形ABCDと任意の点Pについて以下の等式が成り立つという定理である^[1][2][3]。$${\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.}$$

証明に用いる図

Pを通る長方形ABCDの辺AB, BC, CD, ADに対する垂線の足をそれぞれW, X, Y ,Zとする。ここで四角形WXYZは直交対角線四角形である。したがってWP=AZであることに注意し、ピタゴラスの定理を用いると

${\displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}}$

イギリスの国旗

証明の項の図の様に、Pから長方形の各辺へ垂線を下した時にできる図形がユニオンフラッグ に似ていることから名づけられた。

関連項目

• ピザの定理

出典

1. ^ Lardner, Dionysius (1848), The First Six Books of the Elements of Euclid, H.G. Bohn, p. 87, https://books.google.com/books?id=5INRAAAAYAAJ&pg=PA87 . Lardner includes this theorem in what he calls "the most useful and remarkable theorems which may be inferred" from the results in Book II of Euclid's Elements.
2. ^ Young, John Wesley; Morgan, Frank Millett (1917), Elementary Mathematical Analysis, The Macmillan company, p. 304, https://books.google.com/books?id=guI3AAAAMAAJ&pg=PA304 .
3. ^ Bôcher, Maxime (1915), Plane Analytic Geometry: with introductory chapters on the differential calculus, H. Holt and Company, p. 17, https://books.google.com/books?id=bYkLAAAAYAAJ&pg=PA17 .
4. ^ Tran, Quang Hung (November 2021), “British flag theorem for isosceles trapezia”, The Mathematical Gazette 105 (564), doi:10.1017/mag.2021.126 .
5. ^ Hadamard, Jacques (2008), Lessons in Geometry: Plane geometry, American Mathematical Society, p. 136, ISBN 978-0-8218-4367-3, https://books.google.com/books?id=fLwydFiM7zMC&pg=PA136 .
6. ^ Harvard-MIT Mathematics Tournament solutions Archived 2018-12-22 at the Wayback Machine., Problem 28.

より詳しい読み物

• Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: An interesting application of the British flag theorem. Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Volume 4 (2015), issue 1, pp. 31–34.
• Martin Gardner, Dana S. Richards (ed.): The Colossal Book of Short Puzzles and Problems. W. W. Norton, 2006, ISBN 978-0-393-06114-7, pp. 147, 159 (problem 6.16)

外部リンク

• British Flag Theorem at artofproblemsolving.com
• Can You Solve Microsoft's Rectangle Corners Interview Question? (video, 5:41 mins)
• interacive illustration of the British flag theorem for rectangles und for isosceles trapezoids