アイレンベルグ-ムーア圏
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/22 09:42 UTC 版)
「モナド (圏論)」の記事における「アイレンベルグ-ムーア圏」の解説
圏 ℂ 上のモナド ( T , η , μ ) {\displaystyle (T,\eta ,\mu )} に対して、ℂ の対象 A と射 α: TA → A の組をT-代数という。また、T-代数 (A, α) と (B, β) の間のモルフィズム f: (A, α) → (B, β) を、 β ∘ T f = f ∘ α {\displaystyle \beta \circ Tf=f\circ \alpha } を満たす ℂ の射 f: A → B で定める。T のアイレンベルグ-ムーア圏 C T {\displaystyle \mathbb {C} ^{T}} とは、T-代数とその間のモルフィズムからなる圏である。 T-代数の圏に対して、随伴となる関手 F T : C → C T {\textstyle F^{T}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{T}} と U T : C T → C {\textstyle U^{T}:\mathbb {C} ^{T}\to \mathbb {C} } は次のように定められる： F T ( x ) = ( T x , μ x ) {\displaystyle F^{T}(x)=(Tx,\mu _{x})} , F T ( f ) = T f {\displaystyle F^{T}(f)=Tf} U T ( A , α ) = A {\displaystyle U^{T}(A,\alpha )=A} , U T ( f ) = f {\displaystyle U^{T}(f)=f} 定義から U T ∘ F T = T {\displaystyle U^{T}\circ F^{T}=T} であり、従って T {\displaystyle T} は F T {\displaystyle F^{T}} と U T {\displaystyle U^{T}} に伴うモナドである。 アイレンベルグ-ムーア圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 F ⊣ G : C ⇀ D {\displaystyle F\dashv G:\mathbb {C} \rightharpoonup \mathbb {D} } に対して L ∘ F = F T {\textstyle L\circ F=F^{T}} と U T ∘ L = G {\textstyle U^{T}\circ L=G} を満たす関手 L : D → C T {\displaystyle L:\mathbb {D} \to \mathbb {C} ^{T}} がただ1つ存在するという性質を持つ。
※この「アイレンベルグ-ムーア圏」の解説は、「モナド (圏論)」の解説の一部です。
「アイレンベルグ-ムーア圏」を含む「モナド (圏論)」の記事については、「モナド (圏論)」の概要を参照ください。
- アイレンベルグ-ムーア圏のページへのリンク
