フェンシェル型双対定理とは？わかりやすく解説

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フェンシェル型双対定理

読み方：ふぇんしぇるがたそうついていり
【英】：Fenchel-type duality theorem

フェンシェル(フェンケル)型双対定理とは, 一般に, 「凸関数」と「凹関数」の組 $(f,g)$ とそれらの共役関数の組 $(f^{\bullet}, g^{\circ})$ の間に成り立つ最大最小定理を意味する. 例えば, $\textstyle \langle p, x \rangle = \sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$ として, 以下の形の主張となる.

$\mbox{inf} \{ f(x) - g(x) \mid x \in {\mathbf Z} \} ^{n} =$

$\mbox{sup} \{ g^{\circ}(p) - f^{\bullet}(p) \mid p \in {\mathbf Z}^{n} \} ,$

$f^{\bullet}(p) = \mbox{sup} \{\langle p, x \rangle - f(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n} \} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) ,$
$g^{\circ}(p) = \mbox{inf} \{\langle p, x \rangle - g(x) \mid x \in {\mathbf Z}^{n} \} : ( p \in {\mathbf Z}^{n}) .$

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