転置行列 転置行列の概要

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転置行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:19 UTC 版)

特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。

定義

m × n行列

$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}$

の転置行列 ^tA は

${}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{m,1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}$

で定義される。このとき ^tA は n × m行列である。

性質

A, B は行列、k, l はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。

• 転置の転置は元の行列を与える（対合性）：^{t t}A = A
• 和の転置は転置の和を与える（加法性）：^t(A + B) = ^tA + ^tB
• 行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える（斉次性）：^t(kA) = k ^tA
  • 斉次性および加法性から線型性が成り立つ：^t(kA + lB) = k ^tA + l ^tB
• 積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える：^t(AB) = ^tB ^tA

正方行列の性質

• 逆行列の転置は転置の逆行列を与える：^t(A⁻¹) = (^tA)⁻¹
• n 次正方行列 A の跡を tr A で表すと tr A = tr ^tA
• n 次正方行列 A の行列式を det A で表すと det A = det ^tA
• n 次実正方行列 A, n 次ベクトル x, y に対して、標準内積を ⟨·, ·⟩ で表すと、⟨Ax, y⟩ = ⟨x, ^tAy⟩