跡 (線型代数学) 定義

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跡 (線型代数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/02 14:49 UTC 版)

定義

座標に依らない定義

係数体 F 上有限次元ベクトル空間 V 上の自己線型作用素全体の成す空間 L(V,V) を V の双対空間とのテンソル積と

$V^{*}\otimes V\to {\mathcal {L}}(V,V);\;h\otimes v\mapsto (w\mapsto h(w)v)$

によって同一視することができる。このとき、標準的な双線型写像

$t\colon V^{*}\times V\to F;\;t(w^{*},v)=w^{*}(v)\quad (w^{*}\in V^{*},\,v\in V)$

から（テンソル積の普遍性により）導かれるテンソル積空間上の線型写像 tr: V* ⊗ V → F を跡（トレース）と呼ぶ。

座標を用いた定義

体 K 上のベクトル空間 V 上の線形写像 f が有限次元の像を持つとき、V の有限個の元 x₁, …, x_n と双対空間 V* の元 y₁, …, y_n が存在して f(z) = ∑ y_i(z) x_i (∀z ∈ V) となっている。このとき、∑y_i(x_i) は x₁, …, x_n と y₁, …, y_n の選び方によらず f のみによって定まる量となり、f の跡あるいは指標 (distribution character) tr(f) とよばれる。

行列の跡

V が有限次元のとき、基底 {e_i} とその双対基底 {e^j} を取れば、e_i ⊗ e^j は線型写像のこの基底に関する表現行列の (i, j)-成分であり、任意の行列 A は

$A=\textstyle \sum \limits _{i,j}a_{i,j}\,e_{i}\otimes e^{j}$

と書ける。したがってこの跡

$\operatorname {tr} (A)=\textstyle \sum \limits _{i,j}a_{ij}\operatorname {tr} (e_{i}\otimes e^{j})=\sum \limits _{i,j}a_{ij}\delta _{ij}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{ii}$

は対角線に沿った成分の和である（ここで、δ はクロネッカーのデルタ）。