豊富な直線束 一般化

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豊富な直線束

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:09 UTC 版)

一般化

高次ランクのベクトルバンドル

多様体上の局所自由層（ベクトルバンドル）$F$ が豊富とは、$\mathbb {P} (F)$ 上の可逆層 ${\mathcal {O}}(1)$ が豊富である時を言う。

豊富なベクトルバンドルは、豊富な直線束の多くの性質を引き継いで持っている。

大きな直線束

双有理幾何学において重要な一般化には、大きな直線束であるということがある。X 上の直線束 ${\mathcal {L}}$ が大きいとは、次の同値な条件のうちのひとつを満たすときを言う。

• ${\mathcal {L}}$ は豊富な直線束と有効な直線束のテンソル積
• 有限生成な次数付き環 $\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes k})$ のヒルベルト多項式は、X の次元の次数を持っている。
• 因子の全体の系 $X\to \mathbb {P} \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes k})$ の有理写像は、大きな $k\gg 0$ に対し、その像に双有理同値である。この考え方の面白いところは、有理変換に関して安定性を持っていることである。