留数 留数定理

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留数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/12 15:38 UTC 版)

留数定理

単純閉曲線 γ と、γ が囲む有界領域 D を考える。D 上で定義される関数 f(z) が D 内に孤立特異点 a₁, a₂, …, a_n をもち、それ以外で正則であるなら

$\oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}=2\pi i\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Res} \limits _{z=a_{i}}\,f(z)$

が成り立つ。ただし、積分は γ を D の内点からの偏角が正の向き（領域を左に望む方向）に進む。これを留数定理 (residue theorem) と呼ぶ。

例1：実軸上の積分

留数定理を用いると、例えば

$\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}$

のような積分が計算できる。まず、f(x) = 1 /(1 + x²)^{n + 1} を複素領域へ拡張した f(z) を考えると、これは z = ±i に極を持つ。十分大きな R > 0 を取り、区間 [−R, R] を直径とする原点中心の半円板で z = i を含むほうの周を C₀、C₀ から直径 [−R, R] を除いた部分を C とする。実軸上を正の向きに進むものとして C₀ 上で f(z) を積分すれば

$\int _{C_{0}}{{\mathit {dz}} \over (1+z^{2})^{n+1}}=\int _{-R}^{R}{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}+\int _{C}{{\mathit {dz}} \over (1+z^{2})^{n+1}}$

である。このとき C が十分大きければ R に依らず、C₀ の囲む領域内で f(z) は (n + 1)-位の極 z = i をもち、かつそれ以外には特異点を持たないから、留数定理により左辺は

${\begin{aligned}2\pi i\,\operatorname {Res} \limits _{z=i}\,f(z)&={2\pi i \over n!}\lim _{z\to i}{d^{n} \over {\mathit {dz}}^{n}}\!\left({\frac {(z-i)^{n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}\right)\\&={2\pi i \over n!}\left.{d^{n} \over {\mathit {dz}}^{n}}{1 \over (z+i)^{n+1}}\right|_{z=i}={\pi (2n)! \over 2^{2n}(n!)^{2}}\end{aligned}}$

となる。一方、右辺第二項は R → ∞ のとき 0 に収束するので、結局

${\pi (2n)! \over 2^{2n}(n!)^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}$

を得る。

例2：偏角の原理

留数定理の系として、偏角の定理あるいは偏角の原理などと呼ばれる次のような定理を得ることができる。

定理

単純閉曲線 γ の囲む有界領域 D の閉包を E とし、E 上で定義される有理型関数 f(z) は γ 上に極も零点も持たないとする。このとき、f(z) の D 内での零点と極は有限個である。重複度まで込めた零点の個数を n、極の個数を m とすると

$${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }d\!\log f(z)=n-m$$

が成り立つ。さらに一般に、重複度込みで零点が a₁, a₂, …, a_n、極が b₁, b₂, …, b_m であるとすると、E 上の任意の正則関数 g(z) に対して

$${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }g(z)\,d\!\log f(z)=\sum _{j=1}^{n}g(a_{j})-\sum _{k=1}^{m}g(b_{k})$$

が成立する。

例3：バーゼル問題の解

余接関数を使った関数 π cot(πz) は、全ての整数 n が1位の極であり、留数はいずれも 1 である（これらが特異点の全てである）。このことを利用して、

$\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)$

のような無限和の計算ができる。

例えば f(z) = z⁻² ととる。N を整数とし、Γ_N を正方形 [−N − 1/2, N + 1/2] × [−N − 1/2, N + 1/2] の周に反時計回りに向きを付けた閉路とする。

留数定理により、

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}f(z)\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.$

左辺は N → ∞ のとき、0に収束する。なぜなら被積分関数のオーダーが O(N⁻²) だからである。

一方、

${\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots ;\qquad B_{2}={\frac {1}{6}}$

である。実際これは、z/2 cot(z/2) = iz/1 − e^−iz − iz/2 と変形することで分かる（ベルヌーイ数を参照）。これより、留数 $\operatorname {Res} \limits _{z=0}f(z)\pi \cot(\pi z)$ は −π²/3 に等しい。

以上より

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

であることがわかり、バーゼル問題の解法の一つが得られた。

例4：余接関数の部分分数展開

同じ技巧を用いて、整数でない任意の複素数 z について

$\pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}$

が各点収束の意味で成り立っていることが証明できる（部分分数展開）。

w を整数でない複素数として、f(z) = (w − z)⁻¹ ととる。例3と同様にして

${\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz&=\operatorname {Res} \limits _{z=w}f(z)\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{w-n}}\\&=-\pi \cot(\pi w)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{w-n}}\end{aligned}}$

が得られる。今回難しいのは、左辺の複素線積分が消えることの証明である。そこで

$\int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z}}\,dz=0$

であることを利用する。これが成り立つのは、被積分関数が偶関数であるため、左半平面にある経路からの寄与と右半平面にある経路からの寄与が互いに打ち消し合うからである。

よって、

$\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\int _{\Gamma _{N}}\left({\frac {1}{w-z}}+{\frac {1}{z}}\right)\pi \cot(\pi z)\,dz$

は N → ∞ のとき 0 に収束する。

このことと留数定理の等式とをあわせて、文字を w から z に取り換えれば、最初に提示した等式になる。