分数階微積分学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/02/22 01:08 UTC 版)
分数階微分方程式
分数階積分
リーマン-リウヴィル分数階積分
古典的な形での分数階微分積分学は、リーマン-リウヴィル積分によって与えられるもので、これは本質的には上で述べたような内容のものである。また、一定周期ごとに繰り返すという「境界条件」を課せば、周期函数に対する理論であるワイル微積分が考えられる。これはフーリエ級数に対して定義され、一定のフーリエ係数が消えている(したがって単位円上の積分して 0になるような函数に適用できる)ことを要請する。
対して、グリュンバルト-レトニコフ微分 は積分の代わりに微分から始める理論である。
アダマール分数階積分
アダマール分数階積分は J. Hadamard [5] によって導入され、次の式で与えられる。
函数解析
函数解析学の文脈では、冪のみならずもっと一般に函数 f に対する作用素 f(D) についてスペクトル論の汎函数計算における研究がなされる。擬微分作用素の理論においても D の冪について考えることができる。この作用素は特異積分作用素 の例として得られる。また、古典理論の高次元への一般化はリースポテンシャルの理論と呼ばれる。したがって「分数階微分積分学」について論じるのに、いくつもの現代的理論を利用することができる。
特殊函数論で重要なErdélyi-Kober operatorも参照。
- ^ ここで積分作用素の J は integration の頭文字 I を用いるところ、I は恒等写像など他の意味に使われたり、I に似た字形の記号・文字がいろいろと使われたりすることによる混同を避けるためにしばしば使われる。
- ^ Liouville, Joseph (1832), “Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions”, Journal de l'École Polytechnique (Paris) 13: 1-69.
- ^ Liouville, Joseph (1832), “Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques”, Journal de l'École Polytechnique (Paris) 13: 71-162.
- ^ この主題の歴史については、以下の修士論文(フランス語)Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994) を参照。
- ^ Hadamard, J. (1892), “Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor”, Journal of pure and applied mathematics 4 (8): 101–186
分数階微積分学と同じ種類の言葉
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