マイヤー・ヴィートリス完全系列 簡単な応用例

ウィキペディア

マイヤー・ヴィートリス完全系列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/29 14:29 UTC 版)

簡単な応用例

超球面

X = S² の分解

k-次元球面 X = S^k のホモロジーをきちんと計算するために、A および B をそれらの交わりが (k − 1)-次元赤道球面にホモトピー同値な X の二つの半球面とする。k-次元半球面は k-次元円板にホモトピックで、これは可縮だから、A および B のホモロジー群は自明である。簡約ホモロジー群に対するマイヤー・ビートリス完全系列から

$\cdots \to 0\to {\tilde {H}}_{n}(S^{k})\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}(S^{k-1})\to 0\to \cdots$

クラインの壷（基本多角形の適当な辺を同一視したもの）は二つのメビウスの帯 A（青）と B（赤）に分解される。

マイヤー・ヴィートリス完全系列のもう少しだけ難しい応用として、クラインの壷 X のホモロジー群の計算を挙げよう。二つのメビウスの帯 A, B をそれらの境界円にそって貼合せた和として X を分解すれば、A, B およびそれらの交わり A ∩ B は円にホモトピー同値であるから、マイヤー・ヴィートリス完全系列の非自明な部分は

${\displaystyle 0\to H_{2}(X)\to \mathbb {Z} \,{\xrightarrow {\alpha }}\,\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \to H_{1}(X)\to 0}$

二つの 2-次元球面 K および L の一点和 X のこのような分解から X のホモロジー群が全て得られる。