ハートマン＝グロブマンの定理 ハートマン＝グロブマンの定理の概要

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ハートマン＝グロブマンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/16 13:47 UTC 版)

概要

写像の繰り返しで記述される離散力学系

${\begin{aligned}&x_{x+1}=f(x_{n})\quad (n=0,1,\cdots )\\&f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\end{aligned}}$

もしくは、微分方程式で記述される連続力学系

${\begin{aligned}&{\frac {dx}{dt}}=g(x)\quad (t\in [a,b],\,\,x\in \mathbf {R} ^{n})\\&g:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\end{aligned}}$

を考える。これらの系の時間発展は、写像の反復

${\begin{aligned}&x_{0},\cdots ,x_{n},\,x_{n+1},\cdots \\&f(x_{n})=f\circ f\circ \cdots \circ f(x_{0})\end{aligned}}$

または、微分方程式の定める流れ（一径数部分群）

${\begin{aligned}&\phi _{t}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\\&\phi _{t}(x_{0}))=x(t)\quad (x(0)=x_{0})\\&\phi _{s}\circ \phi _{t}=\phi _{s+t}\end{aligned}}$

で与えられる。

こうした力学系に対し、

• $f({\bar {x}})={\bar {x}}\,$　(離散力学系)
• $g({\bar {x}})=0\,$　(連続力学系)

を満たす点x を不動点、もしくは平衡点という。 写像の反復もしくは時間変数t に関して定常的となる不動点の近傍の振る舞いを解析することは、力学系の挙動を理解する上で重要である。また、離散系の不動点において、ヤコビ行列Df の固有値の絶対値が全て1ではない場合、不動点は双曲型であるという。同様に微分方程式の定める連続系の不動点において、ヤコビ行列の固有値Dg の実部が全て0ではない場合、不動点は双曲型であるという。不動点が双曲型であれば、そこでの安定性の議論が可能となる。

一般に非線形な力学系の理論は困難を伴うが、それに比して、線形な力学系の解析は容易である。実際、不動点xを有し、n次の正方行列A で記述される線形な離散力学系

$x_{n+1}=Ax_{n}\,$

や連続力学系

${\frac {dx}{dt}}=A(x-{\bar {x}})$

については、行列Aの固有値、固有ベクトルを評価することで、その振る舞いを完全に調べることができる。

そこで非線形な力学系の解析においても、ヤコビ行列Df' によって、不動点近傍で線形化した方程式

${\begin{aligned}f({\bar {x}})&=f({\bar {x}})+Df({\bar {x}})(x-{\bar {x}})+\cdots \\&\approx Df({\bar {x}})(x-{\bar {x}})\end{aligned}}$

に帰着させれば、近似的であるが線形力学系の手法で、不動点周りの挙動を理解することができる。ハートマン＝グロブマンの定理は双曲型不動点において、その近傍での局所的な挙動が、線形化した方程式で解析できることを保証する。

定理の内容

離散版

微分同相写像

$f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}$

に対し、x がヤコビ行列Df の固有値の絶対値が全て1ではない双曲的な不動点とする。このとき、xの近傍U と同相写像h で

${\begin{aligned}&h(f(\xi ))=Df({\bar {x}})h(\xi )\quad \forall \xi \in U\\&h:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\end{aligned}}$

を満たすものが存在する。すなわち、x の近傍でf とDf は局所的に位相共役である。

連続版

微分方程式

${\frac {dx}{dt}}=g(x)$

で記述される連続力学系において、その流れをφ_tとする。xが、ヤコビ行列の固有値の実部が全て0ではない双曲型不動点であるとする。このとき、xのある近傍U が存在し、U においてφ_tと線形化した方程式

${\frac {d\xi }{dt}}=Dg({\bar {x}})\xi \quad (\xi =x-{\bar {x}})$

が定める流れ

$e^{tDg({\bar {x}})}$

は局所的に位相共役となる。