スチュワートの定理 スチュワートの定理の概要

ウィキペディア

スチュワートの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/12 07:01 UTC 版)

スチュワートの定理は、図における線分たちの長さの間の関係式を与える。

1746年にスコットランドの数学者マシュー・スチュワート（英語版）によって発表された^[1]。

定理

三角形の辺 BC, CA, AB の長さを a, b, c とする。辺 AB 上に点 M を取り、C との距離を d とする。AM, BM の長さを x, y とすると、以下の式が成り立つ。

${\displaystyle a^{2}x+b^{2}y=c(d^{2}+xy)}$

M が辺の中点のとき、この式は中線定理の式に一致する。

証明

∠AMC=θ, ∠BMC=θ′ とおくと cos θ′ = cos(π-θ) = −cos θ である。

余弦定理より以下の式が成り立つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=x^{2}+d^{2}-2dx\cos \theta \\a^{2}&=y^{2}+d^{2}-2dy\cos \theta '\\&=y^{2}+d^{2}+2dy\cos \theta .\,\end{aligned}}}$

上の式に y をかけ、下の式に x をかけて和をとり、cos θ の項を消去する。

${\displaystyle {\begin{aligned}&b^{2}y+a^{2}x\\&=x^{2}y+y^{2}x+(x+y)d^{2}\\&=(x+y)(xy+d^{2})\\&=c(xy+d^{2})\\\end{aligned}}}$