Quasicomponents
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 06:12 UTC 版)
「局所連結空間」の記事における「Quasicomponents」の解説
X を位相空間とする。X 上の第三の関係を定義する： X の開集合 A と B への分離であって x が A の元であって y が B の元であるようなものは存在しないとき、 x ≡ q c y {\displaystyle x\equiv _{qc}y} 。これは X 上の同値関係であり x を含む同値類 Q C x {\displaystyle QC_{x}} は x の quasicomponent と呼ばれる。 Q C x {\displaystyle QC_{x}} は x を含む X のすべての開かつ閉部分集合の共通部分としても特徴づけることができる。したがって Q C x {\displaystyle QC_{x}} は閉である； 一般に開であるとは限らない。 明らかにすべての x ∈ X に対して C x ⊆ Q C x {\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}} である。全体で x における道成分、成分、quasicomponent の間に次の包含がある： P C x ⊆ C x ⊆ Q C x . {\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.} X が局所連結であれば、上のように、 C x {\displaystyle C_{x}} は x を含む開かつ閉集合なので、 Q C x ⊆ C x {\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}} でありしたがって Q C x = C x {\displaystyle QC_{x}=C_{x}} である。局所弧状連結性は局所連結性を意味するから、局所弧状連結空間のすべての点 x において P C x = C x = Q C x {\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}} が成り立つことが従う。 例 1. quasicomponent が成分に等しくないような空間の例は離散位相を持った可算集合 X に次のような 2 点 a, b を足したものである。a の任意の近傍は b を含むかまたは X の有限個を除くすべての点を含み、b の任意の近傍は a を含むかまたは X の有限個を除くすべての点を含む。点 a は b の同じ quasicomponent にあるが b と同じ成分にはない。 2. Arens-Fort 空間（英語版）は局所連結ではないがそれにもかかわらず成分と quasicomponent は一致する： 実際すべての点 x に対して Q C x = C x = { x } {\displaystyle QC_{x}=C_{x}=\{x\}} である。
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