M-理論でのカルタン行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/06/21 06:46 UTC 版)
「カルタン行列」の記事における「M-理論でのカルタン行列」の解説
M-理論では、2-サイクルの領域は 0 へ向かう極限で有限個の点と交叉する2-サイクル（英語版）(two-cycles)を持つ幾何学である。この極限で、局所対称群が現れる。2-サイクルの基底の交叉数の行列は、局所対称群のリー代数のカルタン行列であると予想されている。. このことは次のように説明することができる。M-理論では、メンブレーン(membrane)、あるいは、2-ブレーン(2-branes)と呼ばれる 2次元曲面の解を持っている。2-ブレーンは張力(tension)を持ち、従って、縮む傾向にあるが、2-サイクルの周りに巻きつき 0 に収縮しないことがある。 すべての交叉する 2サイクルに共通な 1次元をコンパクト化し、この次元が 0 へ収縮する極限をとることは、この次元での次元簡約（英語版）(dimensional reduction)を取ることになる。そのようにすると、タイプ IIA の弦理論をD-ブレーンの間の開弦により記述された 2-サイクルへ巻きついた 2-ブレーンを持つ M-理論の極限として得ることができる。各々の D-ブレーンに対し U(1) 局所対称群が存在し、向き付けを変えない弦の運動の自由度に似ている。2-サイクルの面積が 0 のときの極限は、開弦の端点となっているこれらの D-ブレーンの極限であるので、拡張された局所対称群を得る。 現在、2つの D-ブレーンの間の開弦はリー代数の生成子を表現し、そのような 2つの生成子の交換子は、2つの開弦の縁を互いに張り合わせることによい得られる開弦によって表される第三の D-ブレーンである。異なる開弦の間の後者の関係は、元の M-理論での 2-ブレーンの交叉する方法、つまり 2-サイクルの交叉とは独立である。このようにリー代数は、これらの交点数に完全に依存する。カルタン行列の詳しい関係式は、交点数が単純ルート（英語版）(simple root)の交換子を記述することが理由である。これは選択された 2-サイクルに関連している。 カルタン部分代数（英語版）(Cartan subalgebra)はD-ブレーンとそれ自身の間に伸びた開弦により表現される。
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