GAGAの公式ステートメント
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/27 08:06 UTC 版)
「代数幾何学と解析幾何学」の記事における「GAGAの公式ステートメント」の解説
( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} を C 上有限型なスキームとすると、位相空間 Xan が存在し、集合としては、連続埋め込み写像 λX: Xan → X を持つ X の閉点を構成する。Xan の位相は「複素トポロジー」と呼ばれる（部分空間位相とは全く異なった位相である）。 φ: X → Y を C 上局所有限型なスキームの射とすると、連続写像 φan: Xan → Yan が存在して、λY °φan = φ °λX となる。 Xan 上には層 O X a n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }} が存在し、 ( X a n , O X a n ) {\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })} が環付き空間であり、λX: Xan → X は環付き空間の写像となる。空間 ( X a n , O X a n ) {\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })} は、 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} の「解析化(analytification)」と呼ばれ、解析空間である。全ての φ: X → Y に対し、上で定義された写像 φan は解析空間の写像である。さらに写像 φ ↦ φan は、開埋め込みを開埋め込みへと写像する。X = Spec(C[x1,...,xn]) に対し、Xan = Cn と全ての多重円板(polydisc) U に対する O X a n ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)} は、U 上の正則函数の空間の適当な商となる。 全ての X 上の層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} （代数的層という）に対し、X 上の層 F a n {\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }} （解析的層という）と層の写像 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modules λ X ∗ : F → ( λ X ) ∗ F a n {\displaystyle \lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }} が存在する。層 F a n {\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }} は λ X − 1 F ⊗ λ X − 1 O X O X a n {\displaystyle \lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }} として定義される。対応 F ↦ F a n {\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }} は ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 上の層の圏から ( X a n , O X a n ) {\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })} の層の圏への完全函手を定義する。 次の 2つのステートメントは、セールの GAGA 定理（グロタンディークやネーマンらにより拡張された）の真髄である。 f: X → Y をC 上有限型なスキームの任意の射とし、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を連接層とすると、自然な写像 ( f ∗ F ) a n → f ∗ a n F a n {\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }} は単射である。f を固有とすると、この写像は同型となる。また、この場合には、全ての高次順像について同型 ( R i f ∗ F ) a n ≅ R i f ∗ a n F a n {\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }} が成り立つ。 ここで、Xan がハウスドルフかつコンパクトとする。 F , G {\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}} が 2つとも ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 上の連接な代数的な層で、 f : F a n → G a n {\displaystyle f:{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }} が O X a n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }} 加群の層の写像とすると、f = φan をもつ一意な層の写像 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 加群 φ : F → G {\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}} が存在する。 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} が Xan 上の O X a n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }} 加群の解析的連接層であれば、 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 加群の代数的連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} と同型 F a n ≅ R {\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}} が存在する。 少し一般性は低くなるが、GAGAの定理は、複素多様体 X の上の代数的連接層の圏と対応する解析空間 Xan の上の解析的連接層の圏が、圏同値であることを言っている。解析空間 Xan は、大まかには、座標変換(the coordinate charts)を通して Cn から決まる複素構造を X へ引き戻すことによって得られる。実際、この方法で定理を言い換えることはセールの論文の精神に近く、上記の公式のステートメントを使うことでその重要さが分かるスキーム論は、GAGAの出版された当時はまだ理解されてはいなかった。
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