4元速度と4元加速度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
「特殊相対性理論」の記事における「4元速度と4元加速度」の解説
以上の議論では変数 r で世界線 C をパラメトライズしたが、物理学的に自然な値である秒を単位とした固有時 τ そのものを使って、x→ = x→(τ) とパラメトライズするのが一般的である。このようにパラメトライズしたとき、質点 x→ の4元速度（英語版） u→ と4元加速度（英語版） a→ を以下のように定義する： u → := d x → d τ {\displaystyle {\vec {u}}:={\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} \tau }}} 、 a → := d 2 x → d τ 2 . {\displaystyle {\vec {a}}:={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}.} すなわち、x→ のミンコフスキー空間上の位置の変化率を固有時間 τ で測ったものが4元速度で、4元速度の変化率を τ で測ったものが4元加速度である。 4元速度のミンコフスキー・ノルムは 1 c ‖ d x → d τ ‖ = ‖ d x → ‖ d s = d s d s = 1 {\displaystyle {\frac {1}{c}}\left\|{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} \tau }}\right\|={\frac {\|\mathrm {d} {\vec {x}}\|}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} s}}=1} を満たす。このことから、4元速度は x の世界線の接線で長さが c であるものである事がわかる。この事実は、ユークリッド空間の曲線を弧長で微分したときの長さが1になることと対応している。長さが1でなく c なのは時間の単位が c 秒でなく1秒だからである。 以上の事から4元速度のミンコフスキー・ノルムの2乗が定数 c2 なので、これを微分する事で η ( u → , a → ) = 0 {\displaystyle \eta ({\vec {u}},{\vec {a}})=0} である事がわかる。すなわち4元速度と4元加速度は「直交」している。
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