弧長とは? わかりやすく解説

弧長

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/01/29 19:23 UTC 版)

数学において、複雑な形状の曲線(弧状線分)の弧長(こちょう、: arc length)を決定する問題は、曲線の求長 (rectification) とも呼ばれ、特定の曲線に対する求長法は歴史的に様々なものが考えられてきたが、無限小解析の到来とともに曲線に依らない一般論が導かれ、いくつかの場合にはそこから閉じた形の式英語版が得られる。


  1. ^ このような曲線を長さをもつ曲線 (rectifiable curve) ということがある[1]
  1. ^ 一松 信『解析学序説 上巻』裳華房、1981年2月1日、244頁。


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弧長

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/15 04:08 UTC 版)

ベクトル解析」の記事における「弧長」の解説

線積分特殊なケースとして ∫ C d ⁡ s {\displaystyle \int _{C}\operatorname {d} s} を考えると、曲線Cの長さ(弧長)に一致する事が知られている。 厳密な証明は弧長の項目にゆずるが、直観的には以下の理由よる。Cを x ( u ) = ( x 1 ( u ) , x 2 ( u ) , x 3 ( u ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))} 、u∈[a,b] と向きはじめとする保つようにパラメトライズし、[a,b]を長さΔuの微小区間分けると、Cの長さはおよそ ∑ i ‖ x ( ( i + 1 ) Δ u ) − x ( i Δ u ) ‖ {\displaystyle \sum _{i}\|\mathbf {x} ((i+1)\Delta u)-\mathbf {x} (i\Delta u)\|} ∑ i ‖ Δ x / Δ u ‖ Δ u {\displaystyle \sum _{i}\|\Delta \mathbf {x} /\Delta u\|\Delta u} なので、Δuを0に近づけると、線積分 ∫ ‖ d ⁡ x d ⁡ u ‖ d ⁡ u {\displaystyle \int \left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} u}\right\|\operatorname {d} u} に一致する。従って上述線積分で弧長を求める事ができる。

※この「弧長」の解説は、「ベクトル解析」の解説の一部です。
「弧長」を含む「ベクトル解析」の記事については、「ベクトル解析」の概要を参照ください。

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