弧長
弧長
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 04:08 UTC 版)
線積分の特殊なケースとして ∫ C d s {\displaystyle \int _{C}\operatorname {d} s} を考えると、曲線Cの長さ（弧長）に一致する事が知られている。 厳密な証明は弧長の項目にゆずるが、直観的には以下の理由による。Cを x ( u ) = ( x 1 ( u ) , x 2 ( u ) , x 3 ( u ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))} 、u∈[a,b] と向きをはじめとする保つようにパラメトライズし、[a,b]を長さΔuの微小区間に分けると、Cの長さはおよそ ∑ i ‖ x ( ( i + 1 ) Δ u ) − x ( i Δ u ) ‖ {\displaystyle \sum _{i}\|\mathbf {x} ((i+1)\Delta u)-\mathbf {x} (i\Delta u)\|} ∑ i ‖ Δ x / Δ u ‖ Δ u {\displaystyle \sum _{i}\|\Delta \mathbf {x} /\Delta u\|\Delta u} なので、Δuを0に近づけると、線積分 ∫ ‖ d x d u ‖ d u {\displaystyle \int \left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} u}\right\|\operatorname {d} u} に一致する。従って上述の線積分で弧長を求める事ができる。
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