4元ポテンシャルによる表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
「特殊相対性理論」の記事における「4元ポテンシャルによる表現」の解説
電磁場には必ず以下の条件をみたす組 φ, A（電磁ポテンシャル）が存在する事が知られている B = rot A {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}} 、 E = − grad ϕ − ∂ A ∂ t {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\operatorname {grad} \phi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}} (E2) 本節では、電磁ポテンシャルの4元ベクトル版である4元ポテンシャル A → = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) := ( ϕ / c , A ) {\displaystyle {\vec {A}}=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}):=(\phi /c,{\boldsymbol {A}})} を用いる事で、マクスウェル方程式を表現する。 1つの電磁場に対し(E2)式を満たす電磁ポテンシャルは一意ではない事が知られている。そこでローレンツ共変性を損ねない形で電磁ポテンシャルを制限するため、4元勾配を使った以下の条件（ローレンツ・ゲージ）を課す： ∂ A α ∂ x α = 0. {\displaystyle {\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}=0.} このとき、マクスウェル方程式は4元電流密度を用いて ◻ A → = μ 0 j → {\displaystyle \Box {\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}} という一本の式で書き表せる。ここで ◻ := 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ 2 ∂ y 2 − ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \Box :={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}} はダランベルシアンである。
※この「4元ポテンシャルによる表現」の解説は、「特殊相対性理論」の解説の一部です。
「4元ポテンシャルによる表現」を含む「特殊相対性理論」の記事については、「特殊相対性理論」の概要を参照ください。
- 4元ポテンシャルによる表現のページへのリンク
