1 の冪根の群スキーム

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乗法群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/13 05:13 UTC 版)

数学と群論において、用語乗法群 (multiplicative group) は次の概念の1つを意味する：

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1 の冪根の群スキーム

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「乗法群」の記事における「1 の冪根の群スキーム」の解説

1の n 乗根の群スキーム (group scheme of n-th roots of unity) は定義によって群スキーム（英語版）と考えて乗法群 〖GL〗⁡(1) への n ベキ写像の核である。つまり、任意の整数 n > 1 に対して、単位元として働く射 e とともに、n 乗をとる乗法群の射を考えそのスキーム論の意味で適切なファイバー積をとることができる。 得られる群スキームは μn と書かれる。体 K 上とったときそれが被約スキーム（英語版）を生じることと K の標数が n を割らないことは同値である。これによってそれは非被約スキーム（構造層に冪零元があるスキーム）のいくつかの重要な例の源となる。例えば任意の素数 p に対して p 個の元からなる有限体上の μp。 この現象は代数幾何学の古典的な言葉で容易には表現されない。例えば標数 p のアーベル多様体の双対理論（英語版）（Pierre Cartier の理論）を表現するのにそれはかなり重要であることがわかる。この群スキームのガロワコホモロジーはクンマー理論を表現する方法である。