関数のリー微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/13 19:59 UTC 版)
まず初めに、関数の微分法の言葉でリー微分を定義する。多様体 M 上で与えられた可微分関数 f: M → R および M 上のベクトル場 X に対して、点 p ∈ M における f のリー微分を L X f ( p ) = X p ( f ) = ∇ X f ( p ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=X_{p}(f)=\nabla _{X}f(p)} によって定義する。これは通常の意味での微分の言葉で言えば、関数 f のベクトル場 X に沿った微分を改めて X の定めるリー微分と呼んでいるということにすぎない。もうすこし装飾的な言葉を使えば、多様体 Mの接束と余接束の間の自然な双対性内積として L X f ( p ) = d f ( p ) [ X ( p ) ] = ⟨ d f , X ⟩ ( p ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)[X(p)]=\langle df,X\rangle (p)} と言い直すことができる。ここに df: M → T*M は f の全微分、すなわち d f = ∂ f ∂ x a d x a . {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x^{a}}}dx^{a}.} で与えられる1次微分形式（右辺は a に関する和であるがアインシュタインの縮約記法を用いた）であり、dxa は余接束 T*M の基底ベクトルである。したがって df(p)[X(p)] は M 上の点 p における f の微分 df とベクトル場 X との自然な双対性を表す内積であると理解できる。実際、X をxa 座標系 において X = X a ∂ ∂ x a {\displaystyle X=X^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}} と表せば、 L X f ( p ) = d f ( p ) [ X ( p ) ] = X a ∂ f ∂ x a ( p ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)[X(p)]=X^{a}{\frac {\partial f}{\partial x^{a}}}(p)} を得る。これは初めに示した関数のリー微分の定義と一致している。 別のやり方として、M 上の滑らかなベクトル場 X が M 上の曲線族を定義することを示すことから出発することもできる。すなわち、M 上の任意の点 p に対して、M 上の 曲線 γ(t) が存在して、p = γ(0), d γ d t ( t ) = X ( γ ( t ) ) {\displaystyle {\frac {d\gamma }{dt}}(t)=X(\gamma (t))} が成立する。この 1 階常微分方程式の解の存在は、ピカール・リンデレフの定理によって保証されている（もっと一般に微分幾何におけるフロベニウスの定理によって与えられる）。これに対してリー微分を L X f ( p ) = d d t f ( γ ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)={\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\vert _{t=0}} . と定義するのである。
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