諸公式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/21 17:50 UTC 版)
積の法則の応用として最たるものが、n が正の整数であるときの冪函数に対する公式 d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}} の証明である（この式自体は n が正でなくとも、あるいはさらに整数でなくとも成立するが、その証明には別の方法を考える必要がある）。証明は冪指数 n に関する数学的帰納法を用いる。n = 0 のとき xn は定数で、nxn−1 = 0 だから式は成り立つ（定数函数の導函数は 0 であるから）。任意にとって固定した冪指数 n で帰納法の仮定が成り立つならば d d x x n + 1 = d d x ( x n ⋅ x ) = x d d x x n + x n d d x x = x ( n x n − 1 ) + x n ⋅ 1 = ( n + 1 ) x n {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}(x^{n}\cdot x)=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\\&{}=x(nx^{n-1})+x^{n}\cdot 1=(n+1)x^{n}\end{aligned}}} となるから n + 1 でも等式は成り立つ（二つ目の等号は積の法則の適用、三つ目の等号は帰納法の仮定である）。
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