複線型交代形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/28 00:07 UTC 版)
詳細は「重線型交代形式」を参照 「重線型形式」も参照 n次行列に関する行列式は列に関して n重交代線型性をもつ。つまり、行列を (a1, a2, …, an) のように列ベクトルの組の形に書くことにすれば | ⋯ , a i + a i ′ , ⋯ | = | ⋯ , a i , ⋯ | + | ⋯ , a i ′ , ⋯ | , | ⋯ , λ a i , ⋯ | = λ ⋅ | ⋯ , a i , ⋯ | , | ⋯ , a i , ⋯ , a j , ⋯ | = − | ⋯ , a j , ⋯ , a i , ⋯ | {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\cdots ,\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i},\cdots \right|&=\left|\cdots ,\mathbf {a} _{i},\cdots \right|+\left|\cdots ,\mathbf {a} '_{i},\cdots \right|,\\\left|\cdots ,\lambda \mathbf {a} _{i},\cdots \right|&=\lambda \cdot \left|\cdots ,\mathbf {a} _{i},\cdots \right|,\\\left|\cdots ,\mathbf {a} _{i},\cdots ,\mathbf {a} _{j},\cdots \right|&=-\left|\cdots ,\mathbf {a} _{j},\cdots ,\mathbf {a} _{i},\cdots \right|\end{aligned}}} が成り立っている。例えば、線型性によって | λ a 11 + μ a 11 ′ a 12 a 13 λ a 21 + μ a 21 ′ a 22 a 23 λ a 31 + μ a 31 ′ a 32 a 33 | = λ | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | + μ | a 11 ′ a 12 a 13 a 21 ′ a 22 a 23 a 31 ′ a 32 a 33 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}\lambda a_{11}+\mu a_{11}'&a_{12}&a_{13}\\\lambda a_{21}+\mu a_{21}'&a_{22}&a_{23}\\\lambda a_{31}+\mu a_{31}'&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\,=\,\lambda \,{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\,+\,\mu \,{\begin{vmatrix}a_{11}'&a_{12}&a_{13}\\a_{21}'&a_{22}&a_{23}\\a_{31}'&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}} が成立しており、さらに交代性によって | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = − | a 12 a 11 a 13 a 22 a 21 a 23 a 32 a 31 a 33 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\,=\,-\,{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{11}&a_{13}\\a_{22}&a_{21}&a_{23}\\a_{32}&a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}} も成り立っている。特に、どれか二つの列が全く同一の成分を持つような行列の行列式は 0 である。 A の行列式と、A の転置行列の行列式は等しい。これによって、行列式が列に関してある性質を持てば、行に関しても同様の性質を持つことが分かる。つまり、上記の性質は全て行に対するものにも書き直せる。 二つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい：A, B を n次正方行列とするとき、|A|⋅|B| = |AB| である。これより特に行列式が基底の取り替えによって不変であることが従う。
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