局所体の代数拡大
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:23 UTC 版)
局所体 K の有限次代数拡大体 L は局所体であり、K の離散付値は L に同値なものを除いて一意的に延長される。従って、K の離散付値は K の代数閉包 K ¯ {\displaystyle \scriptstyle {\bar {K}}} まで一意的に延長される。しかし、 K ¯ {\displaystyle \scriptstyle {\bar {K}}} は完備ではないので局所体ではないが、 K ¯ {\displaystyle \scriptstyle {\bar {K}}} の完備化 K ¯ ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {\bar {K}}}} を考えれば局所体となる。 この項では、局所体の有限次代数拡大体の性質について述べる。 K を局所体とすると、任意の正整数 n に対して、K の n 次の代数拡大体 L で K の不分岐拡大となるものが同型を除いて唯１つ存在する。さらに F K , F L {\displaystyle \scriptstyle F_{K},\ F_{L}} を、それぞれ K, L の付値環とすると、 Gal ( L / K ) ≃ Gal ( F L / F K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)\simeq \operatorname {Gal} (F_{L}/F_{K})} が成立し、 Gal ( L / K ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Gal} (L/K)} は位数 n の巡回群となる。 上記において、 Gal ( L / K ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Gal} (L/K)} は以下の性質を満たす L の自己同型写像 φ {\displaystyle \varphi } で生成される。 φ ( x ) ≡ x q ( mod p L ) ( x ∈ O L ) {\displaystyle \varphi (x)\equiv x^{q}\ \ {\pmod {{\mathfrak {p}}_{L}}}\ \ \ \ (x\in {\mathcal {O}}_{L})} 但し、 O L {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}_{L}} は | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{L}} の付値環、 p L {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{L}} はその付値イデアル、q を K の剰余体 F K {\displaystyle F_{K}} の元の個数とする。 この φ {\displaystyle \varphi } を L / K {\displaystyle L/K} のフロベニウス自己同型写像もしくはフロベニウス置換という。 さて、局所体 K の n 次代数拡大体に対して、不分岐拡大となるものは上のことから同型を除いて１つしか存在しないが、それ以外(つまり不分岐ではない拡大体)については、以下のことが成立する。 T を L / K {\displaystyle L/K} の最大不分岐部分拡大体とすれば、拡大次数 [ T : K ] {\displaystyle [T:K]} は、L の K に対する剰余次数に等しく、 L / T {\displaystyle L/T} は完全分岐であり、拡大次数 [ L : T ] {\displaystyle [L:T]} は、L の K に対する分岐指数に等しい。 以上のことの例として、 Q 3 {\displaystyle \mathbb {Q} _{3}} の2次の代数拡大体は、同型を除くと Q 3 ( − 1 ) , Q 3 ( 3 ) , Q 3 ( − 3 ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{3}({\sqrt {-1}}),\ \mathbb {Q} _{3}({\sqrt {3}}),\ \mathbb {Q} _{3}({\sqrt {-3}})} だけであるが、このうち最初に挙げた Q 3 ( − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{3}({\sqrt {-1}})} が不分岐拡大である。 特に、 L / K {\displaystyle L/K} が有限次ガロア拡大であるとすれば、 L / T {\displaystyle L/T} のガロア群が可解群となるので(付値体を参照)、 L / K {\displaystyle L/K} のガロア群もそうである。つまり、局所体 K 上の任意の代数方程式に対して、有限回の四則計算と根号を用いて代数的に根を得ることができる。
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