対称性、歪対称性および交代性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/21 03:02 UTC 版)
「双線型形式」の記事における「対称性、歪対称性および交代性」の解説
与えられた双線型形式が、 対称であるとは、V の全ての v, w に対し、B(v, w) = B(w, v) のこと; 交代的であるとは、V の全ての v に対し、B(v, v) = 0 のこと; 歪対称であるとは、V の全ての v, w に対し、B(v, w) = −B(w, v) のこと と定義する。 注意 任意の交代形式が歪対称となることは B(v+w, v+w) を展開すれば明らかであり、基礎体 F の標数が 2 でないときは、逆も正しい。即ち、双線型形式が歪対称的であることと交代的であることとは同じ概念をさだめる。 しかし char(F) = 2 のときは、歪対称形式は対称形式と同一の概念を表すこととなり、また交代形式ではない対称／歪対称形式が存在する。 双線型形式が対称（あるいは歪対称）であるための必要十分条件は、その双線型形式の（任意の基底に対する）表現行列が対称（あるいは歪対称）となることである。また双線型形式が交代的となる必要十分条件は、この双線型形式の表現行列が歪対称でかつ対角成分がすべてゼロであるとなることである（char(F) ≠ 2F の時は、歪対称よりこのことが従う）。 双線型形式が対称であるための必要十分条件は、それに対応する二つの線型写像 B1, B2: V → V* が相等しいことであり、また歪対称であるための必要十分条件は、対応する線型写像の一方が他方の符号を変えたものとなっていることである。また、char(F) ≠ 2 のとき、双線型形式は B ± = 1 2 ( B ± B ∗ ) {\displaystyle B^{\pm }={\frac {1}{2}}(B\pm B^{*})} と置くことにより、対称部分と歪対称部分に分解することができる。ここに、B∗ は B の（上で定義した意味での）転置である。
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