媒質中
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 21:58 UTC 版)
「古典電磁気学の共変定式」の記事における「媒質中」の解説
媒質が存在する場合は、媒質の状態を記述する力学変数として分極テンソル P が導入される。媒質中での作用汎関数には、媒質と電磁場との相互作用と、媒質の自己相互作用を記述する部分が追加されて S [ X , A , P ] = S X [ X ] + S A [ A ] + S P [ P ] + S int [ X , A , P ] {\displaystyle {\mathcal {S}}[X,A,P]={\mathcal {S}}_{X}[X]+{\mathcal {S}}_{A}[A]+{\mathcal {S}}_{P}[P]+{\mathcal {S}}_{\text{int}}[X,A,P]} で与えられる。相互作用項のラグランジュ関数は、再び4元電流密度 J を用いれば L int = 1 c J μ A μ ( x ) − 1 2 P μ ν F μ ν ( x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {1}{c}}J^{\mu }A_{\mu }(x)-{\frac {1}{2}}P^{\mu \nu }F_{\mu \nu }(x)} で与えられる。ラグランジュ関数の電磁場の強度 F による偏導関数は ∂ L ∂ F μ ν = − 1 2 Z 0 F μ ν − 1 2 P μ ν = − 1 2 G μ ν {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2Z_{0}}}F^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}P^{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}G^{\mu \nu }} であり、サブ電磁テンソル G が導かれる。サブ電磁テンソルは、ラグランジュ関数の速度による偏導関数である共役運動量と対応している。 運動方程式として D ν G ν μ ( x ) = − 1 c J μ ( x ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\nu }G^{\nu \mu }(x)=-{\frac {1}{c}}J^{\mu }(x)} が導かれる。
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