反応物が2種類の場合

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反応物が2種類の場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/21 07:19 UTC 版)

「反応速度」の記事における「反応物が2種類の場合」の解説

反応物が2種類の2次反応は、次のような式になる。 A + B → C この時Aが1次、Bが1次で合計2次の反応になる。反応速度定数をk2 として、時間t におけるAの濃度[A]またはBの濃度[B]の反応速度式をたてると d [ A ] d t = d [ B ] d t = − k 2 [ A ] [ B ] となる。Aの初濃度を[A]0、Bの初濃度を[B]0とし、時間tののちx mol/dm³が反応したとする。すると生成物Cの生成速度dx /dt は[A]および[B]に比例する。また[A] = [A]0 - x 、[B] = [B]0 - x であるから d [ A ] d t = d [ B ] d t = − d x d t となり、生成物Cの生成速度式は d x d t = k 2 ( [ A ] 0 − x ) ( [ B ] 0 − x ) となる。この式に部分積分法を用いて積分すると、最終的には以下のような式が得られる。 ln ⁡ ( [ B ] / [ B ] 0 [ A ] / [ A ] 0 ) = ( [ B ] 0 − [ A ] 0 ) k 2 t 計算方法は以下のボックスに示す。 計算 生成物Cの生成速度式を以下のように変形する d x ( [ A ] 0 − x ) ( [ B ] 0 − x ) = k 2 d t t = 0のときx = 0であることを用いて積分を行うと ∫ 0 x d x ( [ A ] 0 − x ) ( [ B ] 0 − x ) = k 2 ∫ 0 t d t となる。右辺の積分は単純にk2 t と導くことができる。左辺の積分は部分積分法を使う。まず 1 ( a − x ) ( b − x ) = 1 b − a ( 1 a − x − 1 b − x ) の置き換えを用いると ∫ d x ( a − x ) ( b − x ) = 1 b − a ∫ ( d x a − x − d x b − x ) = 1 b − a { ln ⁡ ( b − x ) − ln ⁡ ( a − x ) } + C = 1 b − a ( ln ⁡ 1 a − x − ln ⁡ 1 b − x ) + C となるので、a, b に[A]0, [B]0を代入すると ∫ 0 x d x ( [ A ] 0 − x ) ( [ B ] 0 − x ) = 1 [ B ] 0 − [ A ] 0 ( ln ⁡ 1 [ A ] 0 − x − ln ⁡ 1 [ B ] 0 − x ) − 1 [ B ] 0 − [ A ] 0 ( ln ⁡ [ B ] 0 − ln ⁡ [ A ] 0 ) = 1 [ B ] 0 − [ A ] 0 ( ln ⁡ [ A ] 0 [ A ] 0 − x − ln ⁡ [ B ] 0 [ B ] 0 − x ) となる。[A] = [A]0 - x、[B] = [B]0 - x であり、さらにlny - lnz = ln(y /z ) より2つの対数をまとめると次の積分系速度式が得られる。 ln ⁡ ( [ B ] / [ B ] 0 [ A ] / [ A ] 0 ) = ( [ B ] 0 − [ A ] 0 ) k 2 t 2次反応では半減期は各時間の濃度に反比例して長くなる。初期濃度a の半分の濃度になる時間t50（すなわち、反応が50%まで進行する所要時間）は次の初期濃度a の関数で表される。 t 50 = 1 k a 成分a とb との初期濃度が著しく相違し、 b ≫ a の場合、2次速度式の微分方程式はさらに成分a の1次速度式に近似することができる。この場合の成分a の1次速度式の速度定数は擬1次速度定数（ぎいちじそくどていすう、pseudo-first order rate constant）と呼ばれる。