ゼータ関数の特殊値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)
「リーマンゼータ関数」の記事における「ゼータ関数の特殊値」の解説
ゼータ関数に整数を代入したものをゼータ定数またはゼータ関数の特殊値と言う。任意の正の偶数 2n について ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! {\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}\,{\frac {\,B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}} と表せる。ここで、B2n はベルヌーイ数である。また、n ≥ 1 の時、 ζ ( − n ) = − B n + 1 n + 1 {\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {\,B_{n+1}\,}{\,n+1\,}}} が成り立つ。s が負の偶数であれば ζ(s) = 0 であり、これらをリーマン・ゼータ関数の自明な零点と呼ぶ。これらの表示はオイラーによる。 具体的には、 ζ ( 0 ) = − 1 2 {\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}}} ζ ( 2 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 = 1.6449 … {\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}}}={\pi ^{2} \over 6}=1.6449\dots } （→バーゼル問題） ζ ( 4 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90 = 1.0823 … {\displaystyle \zeta (4)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{4}}}={\pi ^{4} \over 90}=1.0823\dots } ζ ( 6 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 6 = π 6 945 = 1.0173 … {\displaystyle \zeta (6)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{6}}}={\pi ^{6} \over 945}=1.0173\dots } ζ ( 8 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 8 = π 8 9450 = 1.00407 … {\displaystyle \zeta (8)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{8}}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407\dots } ζ ( 10 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 10 = π 10 93555 = 1.000994 … {\displaystyle \zeta (10)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{10}}}={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994\dots } ζ ( 12 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 12 = 691 π 12 638512875 = 1.000246 … {\displaystyle \zeta (12)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{12}}}={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots } ζ ( 14 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 14 = 2 π 14 18243225 = 1.0000612 … {\displaystyle \zeta (14)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{14}}}={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots } が成り立つ。ここで、 ζ ( 2 n ) = η n π 2 n {\displaystyle \zeta (2n)=\eta _{n}\,\pi ^{2n}} とおくと、 η 1 = 1 6 {\displaystyle \eta _{1}={\frac {1}{6}}} η n = ∑ ℓ = 1 n − 1 ( − 1 ) ℓ − 1 η n − ℓ ( 2 ℓ + 1 ) ! + ( − 1 ) n + 1 n ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}\,{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}\,{\frac {n}{(2n+1)!}}} が成り立つ。この漸化式はベルヌーイ数の漸化式から導かれる。 s {\displaystyle s} = 2 n + 1 , { n ∣ n ∈ Z + } {\displaystyle =2n+1,\{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}} 、つまり、3以上の正の奇数の場合、積分表示をすれば次の通りである。尚、次の B 2 n + 1 ( x ) {\displaystyle B_{2n+1}(x)} は、ベルヌーイ多項式である。 ζ ( 2 n + 1 ) = ( − 1 ) n + 1 ( 2 π ) 2 n + 1 2 ⋅ ( 2 n + 1 ) ! ∫ 0 1 B 2 n + 1 ( x ) tan ( π x ) d x {\displaystyle \zeta (2n+1)={\dfrac {(-1)^{n+1}(2\pi )^{2n+1}}{2\cdot (2n+1)!}}\,\int _{0}^{1}{\dfrac {B_{2n+1}(x)}{\tan(\pi x)}}\,\mathrm {d} x} またラマヌジャンなどは彼が産み出した保型形式により次のような表示式を得ている。尚、 B n {\displaystyle B_{n}} はベルヌーイ数である。 ζ ( 4 n − 1 ) = ( 2 π ) 4 n − 1 2 ∑ k = 0 2 n ( − 1 ) k + 1 B 2 k ( 2 k ) ! B 4 n − 2 k ( 4 n − 2 k ) ! − 2 ∑ k = 1 ∞ k − 4 n + 1 e 2 π k − 1 {\displaystyle \zeta (4n-1)={\frac {(2\pi )^{4n-1}}{2}}\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k+1}\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\,{\frac {B_{4n-2k}}{(4n-2k)!}}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{-4n+1}}{e^{2\pi k}-1}}} ζ ( 4 n + 1 ) = ( 2 π ) 4 n + 1 2 4 n + 1 − 2 ∑ k = 0 2 n + 1 ( − 1 ) k + 1 2 2 k B 2 k ( 2 k ) ! B 4 n + 2 − 2 k ( 4 n + 2 − 2 k ) ! − 2 4 n + 1 2 4 n − 1 ∑ k = 1 ∞ k − 4 n − 1 e π k + ( − 1 ) k {\displaystyle \zeta (4n+1)={\frac {(2\pi )^{4n+1}}{2^{4n+1}-2}}\sum _{k=0}^{2n+1}(-1)^{k+1}\,{\frac {2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}}\,{\frac {B_{4n+2-2k}}{(4n+2-2k)!}}-{\frac {2^{4n+1}}{2^{4n}-1}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{-4n-1}}{e^{\pi k}+(-1)^{k}}}} 小さい正の奇数については、 ζ ( 1 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n = ∞ {\displaystyle \zeta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}=\infty } （→調和級数） ζ ( 3 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 = 1.20205 … {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{3}}}=1.20205\dots } （アペリーの定数） ζ ( 5 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 = 1.03692 … {\displaystyle \zeta (5)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{5}}}=1.03692\dots } ζ ( 7 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 7 = 1.00834 … {\displaystyle \zeta (7)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{7}}}=1.00834\dots } ζ ( 9 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 9 = 1.002008 … {\displaystyle \zeta (9)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{9}}}=1.002008\dots } などが数値的に成り立っている。これらに関して、 ζ ( 3 ) = π 2 7 { 1 − 4 ∑ k = 1 ∞ ζ ( 2 k ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 ) 2 2 k } {\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left\{1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)\,2^{2k}}}\right\}} ζ ( 5 ) = 1 294 π 5 − 72 35 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 π n − 1 ) − 2 35 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 π n + 1 ) {\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{294}}\,\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}+1)}}} ζ ( 5 ) = 1 270 π 5 − 32 15 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e π n + ( − 1 ) n ) {\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{270}}\,\pi ^{5}-{\frac {32}{15}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,\left(e^{\pi n}+(-1)^{n}\right)}}} ζ ( 5 ) = 12 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 sinh π n − 39 20 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 π n − 1 ) − 1 20 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 π n + 1 ) {\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,\sinh \pi n}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}+1)}}} ζ ( 7 ) = 19 56700 π 7 − 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 7 ( e 2 π n − 1 ) {\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\,\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}\,(e^{2\pi n}-1)}}} という級数が知られている。アペリーの定理によると ζ(3) は無理数である（1978年、ロジェ・アペリ）。
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