アフィン代数多様体の座標環とヒルベルトの零点定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/23 00:10 UTC 版)
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本節の内容については体上有限生成環の理論も参照。 V ( I ) = { ( a 1 , … , a n ) ∈ A k n ∣ f ( a 1 , … , a n ) = 0 , ( ∀ f ∈ I ) } {\displaystyle V(I)=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {A} _{k}^{n}\mid f(a_{1},\ldots ,a_{n})=0,\;(\forall f\in I)\}} (Z1) V ( 0 ) = A k n , V ( k [ x 1 , … , x n ] ) = ∅ {\displaystyle V(0)=\mathbb {A} _{k}^{n},\quad V(k[x_{1},\ldots ,x_{n}])=\emptyset } (Z2) V ( I ) ∪ V ( J ) = V ( I J ) {\displaystyle V(I)\cup V(J)=V(IJ)} (Z3) ⋂ λ ∈ Λ V ( I λ ) = V ( ∑ λ ∈ Λ I λ ) {\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }V(I_{\lambda })=V\!\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }I_{\lambda }\right)} となることは容易に確認できる。これは、アフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} には、代数的集合を閉集合とする位相空間の構造が入る事を意味している。このようにして定まるアフィン空間の位相をザリスキー位相という。 アフィン代数的集合 V は、真の部分閉集合 V1, V2 を用いて V = V 1 ∪ V 2 {\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}} と書けるとき可約 (reducible) といい、可約でない代数的集合を 既約 (irreducible) であるという。空間としてのアフィン代数多様体は既約な代数的集合として定義されることは前節でも述べた。アフィン代数的集合（特に、アフィン代数多様体）にはアフィン空間の部分空間としての位相を入れる。 対応 I → V(I) は、多項式環のイデアルに対して代数的集合を対応させる対応であったが、逆にアフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の部分集合 S が与えられたときに、 I ( S ) = { f ∈ k [ x 1 , … , x n ] ∣ f ( a 1 , … , a n ) = 0 , ∀ ( a 1 , … , a n ) ∈ S } {\displaystyle I(S)=\{f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(a_{1},\ldots ,a_{n})=0,\quad \forall (a_{1},\ldots ,a_{n})\in S\}} m = ( x 1 − a 1 , … , x n − a n ) = I ( { p } ) {\displaystyle m=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})=I(\{p\})} I ( V ( I ) ) = I {\displaystyle I(V(I))={\sqrt {I}}} がわかる（体上有限生成環の理論参照）。従って、アフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の代数的集合は根基イデアル I、すなわち I = I {\displaystyle {\sqrt {I}}=I} を満たすイデアル I と1対1の対応にある。このことからアフィン代数多様体は多項式環の素イデアルと1対1に対応している事がわかる。 アフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} 上で定義された「代数的な関数」として相応しいものが多項式であると考えると、アフィン代数的集合 V 上の関数は剰余環 A(V) = k[x1, ..., xn]/I(V) の元と思える。この環 A(V) をアフィン代数的集合 V の座標環 (coordinate ring) といい、その元を V 上の正則関数 (regular function) と呼ぶ。V が代数多様体、すなわち既約な代数的集合であれば I(V) は素イデアルであるので、A(V) は体 k 上有限生成な整域になる。従って、アフィン代数多様体は、体上有限生成な整域と1対1の対応関係にある。
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