近傍 (位相空間論) 近傍 (位相空間論)の概要

ウィキペディア

近傍 (位相空間論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/26 08:29 UTC 版)

平面上の集合 V が点 p の近傍であるのは、p を中心とする小さな円板が V に含まれるときである。

矩形の頂点に対して、その円板は近傍でない。

近傍の概念は開集合と内部の概念と密接な関連がある。

定義

位相空間 X と X の点 p に対して、p の近傍とは、p を含む X のある開集合 U を含むような X の部分集合

${\displaystyle V(\supseteq U\ni p)}$

平面上の集合 S と S の一様近傍 V

距離空間 (X, d) において、X の部分集合 V が X の点 p の近傍であるとは、p を中心とする半径 r の開球体

${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

で、V に含まれるようなものが存在することをいう。

V が X の部分集合 S の一様近傍であるとは、正の実数 r > 0 が存在して、S の任意の点 p に対して

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

が V に含まれるときにいう。

各 r > 0 に対して、集合 S の r-近傍 S_r とは S からの距離が r より小さいような X の点全体の成す集合をいう。これは S の各点を中心とする半径 r の開球体全体の和集合が S_r であるといっても同じである。

従って直接的に、r-近傍が一様近傍であること、および、ある集合が一様近傍であるための必要十分条件が、その集合が適当な値の r に対する r-近傍を含むことであることなどが分かる。

例

実数全体の成す集合 R 上に通常のユークリッド距離を入れたものを考え、部分集合 V を

${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B(n;\,1/n)}$

で定めると、V は自然数全体の成す集合 N の近傍であるが、一様近傍ではない。