横断性 (数学)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:21 UTC 版)

応用

最適制御

応用として、変分法または関連するポントリャーギンの最大値原理（英語版）において、横断性条件は最適化問題において求められる解の種類を制御するために頻繁に用いられる。例えば、以下のような問題の解曲線に対して横断性は必要である:

問題: 曲線の一方または両方の端点を固定しないとき、 $\int F (x, y, y') dx$ を最小化せよ。

このような問題の多くにおいてその解は、解曲線がヌルクラインを横断的に横切るという条件を満足する、さもなくば適当なほかの曲線が終点条件を記述する。

解空間の滑らかさ

（写像の横断性の特別の場合を仮定する）サードの定理を用いて、空間の部分多様体で相補的な次元を持つものの間の、あるいは部分多様体および空間への射の間の横断交叉の全体は、それ自身滑らかな部分多様体となることが示せる。

例えば、向き付けられた多様体の接束の滑らかな切断（英語版）（すなわちベクトル場）を底空間から全空間への射と見たものと零切断（を射または部分多様体と見たもの）は横断的に交わるから、この切断の零点集合（つまりこのベクトル場の特異点集合）は底空間の滑らかな零次元部分多様体（つまり符号付き点集合）を成す。その符号はベクトル場の指数に一致し、従って符号和（つまり零点集合の基本類）は多様体のオイラー標数に等しい。より一般に、向き付けられた滑らかな有限次元閉多様体上のベクトル束に対して、零切断を横断する切断のゼロ点集合は、そのベクトル束の階数に等しい余次元を持つ底空間の部分多様体になり、そのホモロジー類はもとのベクトル束のオイラー類にポワンカレ双対である。

以下はその極めて特別の場合である: 実変数実数値の可微分函数がその零点において零でない微分係数を持つならば、その零点は単純である（すなわち、函数のグラフはその零点において $x$ -軸を横断する）。微分係数が零であることは曲線に水平に接することを意味するのだから、そのような場合には接空間は $x$ -軸に一致することになる。

無限次元の例として以下を挙げる: ∂-作用素はリーマン面から概複素多様体への射の空間上で定義される、ある種のバナッハ空間束の切断で、この切断の零点集合は正則射からなる。この∂-作用素が零切断を横断することが示せるならば、そのモジュライ空間は滑らかな多様体を成す。これらの考察は、擬正則曲線（英語版）論およびグロモフ–ウィッテン理論において基本的な役割を果たす。（この例における横断性は、バナッハ空間を対象にするために、定義を精緻化する必要があることに注意。）

注

注釈

^ "transversal" はラテン語: transversus, transversalis に由来する「横断線」「横断面」を意味する名詞であり、形容詞形は "transverse" である^[1]。

出典

^ Hirsch 1976, p. 66—`"Transversal" is a noun; the adjective is "transverse." —J.H.C. Whitehead, 1959’
^ Guillemin & Pollack 1974, p. 30.
^ Guillemin & Pollack 1974, p. 28.