普遍包絡代数 普遍包絡代数の概要

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普遍包絡代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/11 13:55 UTC 版)

定義

${\mathfrak {g}}$ を任意のリー代数とする。このとき以下の普遍性質を満たす結合代数 A とリー代数の準同型写像 $i:{\mathfrak {g}}\to A$ の組 $(A,i)$ が存在する（A は交換子積によってリー代数とみる）。任意の結合代数 $A'$ とリー代数準同型写像 $i'\colon {\mathfrak {g}}\to A'$ に対し、結合代数の準同型写像 $f\colon A\to A'$ で、$f\circ i=i'$ を満たすものが唯一つ存在する。このような $(A,i)$ は同型を除いて一意的に存在し、普遍包絡代数といい、A を $U({\mathfrak {g}})$ で表す:

構成

${\mathfrak {g}}$ をリー代数、$T({\mathfrak {g}})$ をそのベクトル空間としてのテンソル代数とする。また、${\mathcal {I}}$ を $x\otimes y-y\otimes x-[x,y]\quad (x,y\in {\mathfrak {g}})$ が生成する両側イデアルとする。これによって

$U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/{\mathcal {I}}$

とする。自然な写像 $T({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})$ を ${\mathfrak {g}}$ に制限して $i\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ が定まり、$(U({\mathfrak {g}}),i)$ は普遍包絡代数になる。