半連続 半連続の概要

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半連続

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 08:49 UTC 版)

例

上半連続な関数。青で塗り潰した点がf(x₀)。

x < 0 において f(x) = –1、x ≥ 0 において f(x) = 1 と区分的に定義された関数fを考える。この関数はx₀ = 0において上半連続であるが、下半連続ではない。

下半連続な関数。青で塗り潰した点がf(x₀)。

閉集合の指示関数が上半連続である一方、開集合の指示関数は下半連続である。与えられた実数xに対し、それ以下の最大の整数を返す床関数 $f(x):=\lfloor x\rfloor$ は、全ての点において上半連続である。同様に、天井関数 $f(x):=\lceil x\rceil$ は下半連続である。

関数は、左連続と右連続のいずれでもなくても、上または下半連続でありうる。例えば、関数

$f(x):={\begin{cases}1,&x<1,\\2,&x=1,\\1/2,&x>1\end{cases}}$

はx = 1では左連続でも右連続でもないが、上半連続である。左からの極限は1、右からの極限は1/2であり、いずれも関数値の2とは異っている。同様に、関数

$f(x):={\begin{cases}\sin(1/x),&x\neq 0,\\1,&x=0\end{cases}}$

はx = 0において、左右からの極限値は存在すらしていないが、上半連続である。

厳密な定義

Xを位相空間、x₀ を X 上の点とし、f: X → R ∪ {−∞, +∞} は拡大実数値関数とする。任意の ε >0 に対してx₀ の近傍 U が存在し、U に属するどの x に対しても f(x) ≤ f(x₀) + ε となるとき、あるいは同じことだが、

$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})$

となるとき、f は x₀ で上半連続であると言う。ここで lim sup は（x₀ における関数 f の）上極限である。

函数 f が上半連続函数であるとは、それが定義域の全ての点において上半連続であることをいう。函数 f が上半連続函数となるための必要十分条件は、集合 {x ∈ X : f(x) < α} がいずれの α ∈ R についても開集合となることである。

同様に、函数 f が点 x₀ において下半連続であるとは、任意の ε > 0 に対し、x₀ の近傍 U で U の各点 x において f(x) ≥ f(x₀) − ε となるようなものが存在すること、あるいは同じことだが、

$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})$

が成立することをいう。ここで lim inf は（点 x₀ における函数 f の）下極限である。

函数 f が下半連続函数であるとは、それがその定義域の全ての点で下半連続となるときにいう。函数 f が下半連続函数となるのは、任意の α ∈ R に対して {x ∈ X : f(x) > α} が開集合となるときであり、かつそのときに限る。