レイノルズの輸送定理 概要

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レイノルズの輸送定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/25 20:15 UTC 版)

概要

物質点に付随する物理量$\theta$の変形形状$\kappa _{t}$における総量は、以下に示す体積積分で求められる：

$\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v$

ここで、$\theta ({\boldsymbol {x}},t)$は、時刻$t$における注目する物質点$x$の物質量である。$\theta$は、スカラー値、ベクトル値、テンソル値のどれであっても以後の議論は成立する。

今、上記に示した総量の時間変化率を考える。これは、物質時間導関数（物質時間微分）$\mathrm {D} /\mathrm {D} t$を用いて次のように表される：

${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v$

上の式では被積分関数である$\theta (x,t)$に加えて、積分領域$\kappa _{t}$も時間とともに変化する。そのため、単純に積分と微分の順番を変えることができない。しかし、物質点の速度$v$を用いて$\kappa _{t}$の変形も考慮すれば、微分を積分の中に入れることができる。それを表すのがレイノルズの輸送定理である。