レイノルズの輸送定理 導出

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レイノルズの輸送定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/25 20:15 UTC 版)

導出

基準形状(変形なし形状)$\kappa _{0}$における座標${\boldsymbol {X}}$と写像$\chi$によって、変形形状における座標${\boldsymbol {x}}$を表す。

${\boldsymbol {x}}=\chi ({\boldsymbol {X}},t)$

上記の変換に伴って、積分領域を変形形状$\kappa _{t}$から基準形状(変形なし形状)$\kappa _{0}$に、積分変数を${\textrm {d}}v$から${\textrm {d}}V$に変換する。

${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v={\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{0}}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J\mathrm {d} V$

ここで、基準形状(変形なし形状)κ₀ における微小体積dV と、変形形状κ_t における微小体積dv には体積変化率J を用いて次の関係が成り立つことを利用した。

$\mathrm {d} v=J\mathrm {d} V$

新しい積分領域である基準形状(変形なし形状)κ₀ は時間に無関係な一定の領域となるので、体積変化率J が時間によって変化することに注意すると、微分を積分の中に入れることができ、次のように変形できる。

${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{0}}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}{\Bigl (}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J{\Bigr )}\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}\right)\mathrm {d} V$

この式は

${\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}=J\,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}$

であることを利用すると、次のように整理される：

$\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}\right)\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta J\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)J\mathrm {d} V$

今度は、逆の変換に伴って、積分領域を基準形状(変形なし形状)κ₀ から変形形状κ_t に、積分変数をdV からdv に変換する。

$\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)J\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v$

結局、元の式と比較すると次の関係が成り立つ。

${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v$