リンデマンの定理 特別な数の超越性

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リンデマンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/02 02:41 UTC 版)

特別な数の超越性

この定理より、いくつかの特別な数が超越数であることが直ちに従う。まず、系において α = 1 とすると、ネイピア数 e は超越数であることが分かる。

円周率 π が超越数であることは、次のようにして従う。π が代数的数であると仮定すると、iπ も代数的数であるから、系より e^iπ は超越数である。しかし、オイラーの公式より e^iπ = −1 であるから、これは矛盾である。したがって、π は超越数である。

0 でも 1 でもない代数的数 β に対して、log β は超越数である。これを見るために、log β が代数的数と仮定すると β = e^{log β} は系により超越数でなければならず、不合理。

0 でない代数的数 θ に対して、sin θ は超越数である。もしそうでなければ、γ := 2i sin θ は代数的数であり、オイラーの公式より 2i sin θ = e^iθ − e^−iθ であるから、γ − e^iθ + e^−iθ = 0 となる。これは、定理において n = 3, α₁ = 0, α₂ = iθ, α₃ = −iθ として得られる結果に矛盾する。よって、sin θ は超越数である。同様にして、$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ も超越数であることが分かる。