リンデマンの定理 定理の主張

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リンデマンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/02 02:41 UTC 版)

定理の主張

α₁, …, α_n が相異なる代数的数であるとき、e^α₁, …, e^α_n は Q 上一次独立である（e はネイピア数）。すなわち、

$c_{1}e^{\alpha _{1}}+\cdots +c_{n}e^{\alpha _{n}}=0$

を満たす代数的数の組 (c₁, …, c_n) は (0, …, 0) のみである。

同値な命題として、次のように定式化されることもある。α₁, …, α_n が Q 上一次独立な代数的数であるとき、e^α₁, …, e^α_n は Q 上代数的独立である。

系

定理において、n = 2, α₁ = 0, α₂ = α ≠ 0 とすると、1 と e^α は Q 上一次独立である。すなわち、0 でない代数的数 α に対して e^α は超越数である。