ポアンカレ・ホップの定理 定理の内容

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ポアンカレ・ホップの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/26 00:35 UTC 版)

定理の内容

M を次元 n の微分可能多様体とし、v を M 上のベクトル場とする。x を v の孤立した零点とし、x 付近の局所座標を固定する。x に中心をもつ閉球体 D を、D の中で x が v の唯一の零点となるように取る。このとき x における v の指数 index_x(v) を、u(z)=v(z)/| v(z) | で与えられる D の境界から (n−1) 次元球面への写像 u:∂D→S^n-1 の次数として定義する。

定理： M をコンパクトで向き付けられた微分可能多様体とする。v は孤立零点のみをもつ M 上のベクトル場とする。M が境界を持つ場合は、v が境界上で外向きであることを仮定する。このとき、次の公式が成り立つ。

$\sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\ .$

ここで指数の和は v のすべての（孤立した）零点をわたる。$\chi (M)$ は M のオイラー標数である。

この定理は、まず2次元の場合にアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)が証明し、その後ハインツ・ホップ(Heinz Hopf)が高次元へ一般化した。