この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方 ） 出典検索? "ブルン定数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL （2015年12月
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ブルン定数 (Brun's constant) は数学定数 の一つで B 2 双子素数 の逆数 の和の極限 として定義される。すなわち、
B
2
=
(
1
3
+
1
5
)
+
(
1
5
+
1
7
)
+
(
1
11
+
1
13
)
+
(
1
17
+
1
19
)
+
(
1
29
+
1
31
)
+
⋯
{\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots }
である。素数の逆数和が（無限大 に）発散することはオイラー により知られていたが、双子素数についてはヴィーゴ・ブルン が1919年 にこの級数は収束することを示した。そのため、双子素数は無数に存在するかどうかは引き続き未解決である。また、この極限が無理数 であるか有理数 であるかも未解決である（もし無理数ならば双子素数は無数に存在すると分かる）。
1996年、Thomas R. Nicely は 1014 以下の双子素数までの部分和を計算した（部分和は 1.902160578 ）[1] Pentium FDIV バグ を発見した。2002年の Pascal Sebah と Xavier Gourdon の2人の論文では 1016 までの部分和を計算（1.902160583104… ）し、ブルン定数は
B 2 = 1.902160583…であると推定した[1]
また、同様の数が四つ子素数 についても定義される。これは四つ子素数に対するブルン数 と呼ばれ、しばしば B 4 (5, 7, 11, 13) , (11, 13, 17, 19) , (101, 103, 107, 109) となる。すなわち B 4
B
4
=
(
1
5
+
1
7
+
1
11
+
1
13
)
+
(
1
11
+
1
13
+
1
17
+
1
19
)
+
(
1
101
+
1
103
+
1
107
+
1
109
)
+
⋯
{\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }
この値はおよそ
B 4 = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005と推計されている。
脚注 
