ディガンマ関数 相反公式

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ディガンマ関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 18:27 UTC 版)

相反公式

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

$\psi (1-z)-\psi (z)=\pi \operatorname {cot} (\pi z)$

但し、$\cot(\pi z)$ は余接関数を表す。

漸近展開

$z\to \infty \,(|\arg z|<\pi )$ のとき、ディガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

${\begin{aligned}\psi (z)&\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}\\&=\ln {z}-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+\cdots \end{aligned}}$

但し、$B_{2n}$ はベルヌーイ数である。

特殊値

ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。

• $\psi (1)=-\gamma$

• $\psi (n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}=-\gamma +H_{n-1}\qquad \{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\setminus \{1\}\,\}$

但し、$H_{n-1}$は調和数を表す。

また、正の半整数において、次の値をとる。

• $\psi (1/2)=-\gamma -2\ln {2}$

• $\psi (n+1/2)=-\gamma -2\ln {2}+2\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2k+1}}\qquad \{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\,\}$