シルベスター数列

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/24 13:50 UTC 版)

応用

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Boyer, Galicki & Kollár (2005) ではシルベスター数列の性質を使って、奇数次元の球面またはエキゾチック球面（英語版）に対する非同値な佐々木・アインシュタイン多様体^{[注 4]}の族を与えている^[11]。彼らは論文中で、 $2 m －3$ 次元の球面またはエキゾチック球面上で少なくとも ${\textstyle {\tfrac {1}{3}}(s_{m-1}-1)}$ 個の非同値な佐々木・アインシュタイン多様体の族を与える方法を示し、従ってそれらの数は $m$ に対して二重指数関数的な増加を見せる。

Galambos & Woeginger (1995)が説明しているように、 Brown (1979)とLiang (1980)はオンラインのビンパッキングアルゴリズムについて、アルゴリズムの評価の下界を与えるためにシルベスター数列の値を利用した。Seiden & Woeginger (2005) でも同様に、2次元カッティングストック問題に対して、3-stageギロチンカット解の下界を与えるためにシルベスター数列が用いられている^{[注 5]}。

Známの問題（英語版）は、集合の各要素がそれぞれ他の数の総積に1を足した数の真の約数であるような集合についての問題である。「真の」約数であるという条件を除くと、シルベスター数列の値はこの問題を解決する。本来の条件の下では、シルベスター数列を定めるものと同様の再帰的な手続きによって、問題の解を得ることができる^[要出典]。Známの問題の解は表面特異点の分類^[12]や、unary $n$ -cyclic 正規言語を通して非決定性有限オートマトンの理論^[13]への応用が存在する。

Curtiss (1922) は単位分数の $k$ 項和で1に最も近い近似が、完全数の約数の数に下界を与えることが記されている。Miller (1919) では同じ性質が $k$ 個の部分群を持つ群の位数の上界を与えるために使われている。

脚注

補注

^ 数列の増加速度と級数の無理性については、例えば数列 ${a n}$ が十分に速く増加するとき、 ${\textstyle \sum _{k}{\tfrac {1}{a_{k}a_{k+1}}}}$ が無理数となることが知られている (Erdős & Graham 1980, p. 64)。
^ Andersenはこの区間で1167の素因数を見つけた^[6]ため、おそらくこれは誤記である。
^ $p < 5 \times 10 7$ かつ $n ≦ 200$ を満たす範囲において、全てのシルベスター数 $s n$ の素因数 $p$ はVardiによってリストされている。Ken Takusagawa は $s 9$ までの素因数分解^[9]と $s 10$ の素因数分解^[10]をブログに記している。それ以外の因数分解については、Jens Kruse Andersen によるリスト^[6]を出典としている。
^ 佐々木多様体（英語版）でもあるアインシュタイン多様体
^ 論文中でSeidenとWoegingerは、シルベスター数列を Salzer (1947) の仕事にちなんで「Salzer's sequence」という名前で言及している。