シルベスター数列

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/24 13:50 UTC 版)

因数分解 (可除性)

$i < j$ のとき、定義から $s j \equiv 1 (mod s i)$ が成り立つ。従って、任意の2つのシルベスター数は互いに素である。任意の素数に対して、それで割り切れるシルベスター数が高々1つとなるため、これを用いて素数が無限に存在することを証明できる。より強い事実として、シルベスター数の素因数に6を法として5と合同である数 ( $p = 6 k + 5$ と表せるような素数) は存在しないこと、12を法として7と合同である素数が無限に存在することがシルベスター数列を用いて証明できる^[5]。

数学の未解決問題
シルベスター数列の全ての数は無平方数か？

シルベスター数の素因数分解については、多くのことが未解決のままである。例えば、全ての数が平方因子をもたない整数であるかどうか不明である (既知の数は全て平方因子を持たないことがわかっている)。

Vardi (1991)が説明しているように、与えられた素数 $p$ で割り切れるシルベスター数がどれかを決定することは簡単である： $p$ を法として0に合同となる数か、周期的な列のいずれかが見つかるまで、法 $p$ の下でのシルベスター数列を計算すればよい。この方法を使って、Vardiは最初の300万個の素数のうち1166個がシルベスター数の素因数であること^{[注 2]}、それらの数の平方がシルベスター数の因数にならないことを突き止めた。シルベスター数の因数として現れる素数の集合は、全ての素数の集合に対して密度0 (Natural density の意味で) である^[7]。実際、 $x$ より小さいそのような数は ${\textstyle O(x/(\log x\cdot \log \log \log x))}$ のオーダーとなる^[8]。

次の表は、シルベスター数の既知の因数分解を示している。ただし最初の4つは全て素数であるため除いている。また、一部の数は大きすぎるため桁数のみを表しており、特に明記されていなければそれらの数は素数とは限らない (unfactoredである)^{[注 3]}。

$n$	$s n$ の因数
4	13 × 139
5	3263443 (素数)
6	547 × 607 × 1033 × 31051
7	29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
8	5295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
9	181 × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
10	2287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × (156桁の素数)
11	73 × (416桁)
12	2589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × (785桁)
13	52387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × (1600桁)
14	13999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × (3293桁)
15	17881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × (6618桁)
16	128551 × 115220560101116343072340969000241209 × (13300桁)
17	635263 × 1286773 × 21269959 × (26661桁)
18	50201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × (53313桁)
19	775608719589345260583891023073879169 × (106685桁)
20	352867 × 6210298470888313 × (213419桁)
21	387347773 × 1620516511 × (426863桁)
22	91798039513 × 7919244169465663354953966404923 × (853719桁)

脚注

補注

^ 数列の増加速度と級数の無理性については、例えば数列 ${a n}$ が十分に速く増加するとき、 ${\textstyle \sum _{k}{\tfrac {1}{a_{k}a_{k+1}}}}$ が無理数となることが知られている (Erdős & Graham 1980, p. 64)。
^ Andersenはこの区間で1167の素因数を見つけた^[6]ため、おそらくこれは誤記である。
^ $p < 5 \times 10 7$ かつ $n ≦ 200$ を満たす範囲において、全てのシルベスター数 $s n$ の素因数 $p$ はVardiによってリストされている。Ken Takusagawa は $s 9$ までの素因数分解^[9]と $s 10$ の素因数分解^[10]をブログに記している。それ以外の因数分解については、Jens Kruse Andersen によるリスト^[6]を出典としている。
^ 佐々木多様体（英語版）でもあるアインシュタイン多様体
^ 論文中でSeidenとWoegingerは、シルベスター数列を Salzer (1947) の仕事にちなんで「Salzer's sequence」という名前で言及している。