シルトのはしご シルトのはしごの概要

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シルトのはしご

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/10 02:50 UTC 版)

2段あるシルトのはしご。線分 A₁X₁ と A₂X₂ は、ベクトル A₀X₀ の曲線に沿った平行移動の1次の近似。

概要

まず点 A₀ における接ベクトル x と測地線分 A₀X₀ を同一視する。 そして以下の手順の各サイクルで作られる四角形 A_iX_iX_i+1A_i+1 をレヴィ・チヴィタの擬平行四辺形（英語版）の近似として用いる^{[注釈 2]}ことで、 n サイクル後に得られる測地線分 A_nX_n は、ベクトル x を曲線 A₀A_n に沿って平行移動させた接ベクトルの近似となる。^[2][3]

手順

M 上の曲線と、A0 における接ベクトルを測地線分 A0X0 と同一視する。

曲線上で新しい点 A1 を選び、測地線分 X0A1 の中点として P1 を得る。

測地線分 A0P1 を同じパラメータ長だけ延長することで、新しい点 X1 を得る。

リーマン多様体 M 上において、点 A₀ を通る曲線 γ を考え、x を点 A₀ 上の接ベクトルとする。指数写像（英語版）により測地線分 A₀X₀ と接ベクトル x を同一視することが出来る。

以下の手順を繰り返すことで、シルトのはしごは構築される。^[2][3]

1. 曲線 γ 上で点 A₀ に近い新しい点 A₁ を取り、測地線 X₀A₁ を考える。
2. 測地線 X₀A₁ 上の中点として新しい点 P₁ を考える;

   すなわち測地線 X₀A₁ のアフィン・パラメータ λ について、λ_P1 = 1/2(λ_X0 + λ_A1).

3. 測地線 A₀P₁ を構築し、この測地線の延長上に新しい点 X₁ を、A₀X₁ のパラメーター長さが A₀P₁ の2倍になるように取る;

   すなわち測地線 A₀P₁ のアフィン・パラメータ λ′ について、λ′_X1 - λ′_A0 = 2(λ′_P1 - λ′_A0).

4. 最後に新しい測地線 A₁X₁ を考える。この測地線への接ベクトル x₁ は、A₀ における接ベクトル x を A₁ へと平行移動したものの（少なくとも）1次近似となっている。

なお2点間距離 A_iX_i, A_iA_i+1 は十分に小さい必要がある。^[2][3]

近似

これは連続過程である平行移動の離散近似となっている。もし周辺空間が平らであるのなら、これは正確に平行移動と一致し、^[2]各サイクルで形成される四辺形（前述の手順における A_nX_nX_{n + 1}A_{n + 1}）はレヴィ＝チヴィタの擬平行四辺形（英語版）と一致する。

一方曲がった空間においては、三角形 A_nX_nA_{n + 1} 周りのホロノミーによって誤差が与えられる。これはアンブローズ・シンガーの定理（英語版）により、三角形内部の曲率の積分と等しく、またこれは（閉曲線上の積分と内部の積分を関係させる）グリーンの定理の1つの形態である。