サンクトペテルブルクのパラドックス 反響

ウィキペディア

サンクトペテルブルクのパラドックス

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 02:07 UTC 版)

反響

このパラドックスは、ダニエル・ベルヌーイの提示以降、繰り返し議論の的となっている。

ガブリエル・クラメールがニコラウス・ベルヌーイへ出した手紙の内容が、ダニエル・ベルヌーイの論文に紹介されている。クラメルは、金額の価値はその額面には比例しないと考え、二通りのモデルを提示した。1つ目は、2²⁴（約1600万）より大きな金額は皆等しいとするモデルであり、その場合の期待値は

${\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{2^{2}}}\cdot 2+\cdots +{\frac {1}{2^{25}}}\cdot 2^{24}+{\frac {1}{2^{26}}}\cdot 2^{24}+{\frac {1}{2^{27}}}\cdot 2^{24}+\cdots =13$

で 13 となる。もう1つは、金額の価値はその額面の平方根に比例するとするモデルであり、その場合の「価値の」期待値は

${\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {1}}+{\frac {1}{2^{2}}}\cdot {\sqrt {2}}+{\frac {1}{2^{3}}}\cdot {\sqrt {2^{2}}}+\cdots ={\frac {1}{2-{\sqrt {2}}}}$

となり、額面に直すとその平方で約 2.9 と計算される。ただし、これらのモデルは恣意的であって、妥当か否かの考察は全くない。

ダランベールは、期待値が無限大になるのは、ゲームを永久に続けることができるという、現実にはあり得ない仮定によるものだと指摘した。さらに、パラドックスを回避する方策の一つとして、確率が非常に小さい場合は、その確率を 0 として扱うべきだと主張した。また、別の回避法として、n 回連続して裏が出る確率を 1/2ⁿ より若干小さいとするモデルを提示した。俗に、何回も続けて裏が出れば次に表が出る確率は 1/2 よりも大きいだろう、とする考えであり、一部の学者には受け継がれたが、現代の学者には全く受け入れられていない。

ビュフォンは子供にコインを繰り返し投げさせる実験を行った。2084回のゲームを行い、そのうち1061回で1円、494回で2円、…、合計で10057円を獲得した。この実験において、1回のゲームでの獲得金額の平均は約5円ということになる。

コンドルセは、パラドックスに関連して以下の指摘を行った。1回のゲームで A が勝つ確率が p、B が勝つ確率が q であるとすると、一般的な規則では A の賭金と B の賭金の比率は p : q とすべきである。しかし、p が非常に小さい場合、B の賭金は莫大になって破産してしまう危険性が高いため、本当の意味で公平とはいえない。これが公平であるためには、2人が十分な回数ゲームを繰り返すことに同意していなければならない。