グリーンバーガー＝ホーン＝ツァイリンガー状態 グリーンバーガー＝ホーン＝ツァイリンガー状態の概要

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グリーンバーガー＝ホーン＝ツァイリンガー状態

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 08:19 UTC 版)

重ね合わせの詳細

GHZ状態は、二状態系3つが量子的にもつれた状態である。二状態系を電子のスピン自由度だと思うことにすると、 3つの電子のスピンのx, y, z 成分を測定することができる。電子のスピンは、どの成分を測定しても+1か−1を与えることが知られている。

GHZ 状態では、以下の節で説明してあるように、

• 1番目の電子のスピンのy成分、2番目の電子のスピンのy成分、3番目の電子のスピンのx成分 を測定した場合は、結果は (+++), (+--), (-+-), (--+)のいずれか。 ... (1)
• 1番目の電子のスピンのy成分、2番目の電子のスピンのx成分、3番目の電子のスピンのy成分 を測定した場合は、結果は (+++), (+--), (-+-), (--+)のいずれか。 ... (2)
• 1番目の電子のスピンのx成分、2番目の電子のスピンのy成分、3番目の電子のスピンのy成分 を測定した場合は、結果は (+++), (+--), (-+-), (--+)のいずれか。 ... (3)

を必ず与え、一方

• 1番目の電子のスピンのx成分、2番目の電子のスピンのx成分、3番目の電子のスピンのx成分 を測定した場合は、結果は (++-), (+-+), (-++), (---)のいずれか。 ...(4)

を必ず与えるような状態である。以上のような実験結果は、隠れた変数モデルでは説明できない。

なぜなら、隠れた変数モデルでは、量子状態の測定結果は確率的におこるけれども、一回一回の測定においては、どのような測定をした結果も決まっているはずである、と考える。すると、GHZ状態は測定以前でも、

• 1番目の電子のスピンのy成分を測定すると$s_{y}^{(1)}$、x成分を測定すると$s_{x}^{(1)}$
• 2番目の電子のスピンのy成分を測定すると$s_{y}^{(2)}$、x成分を測定すると$s_{x}^{(2)}$
• 3番目の電子のスピンのy成分を測定すると$s_{y}^{(3)}$、x成分を測定すると$s_{x}^{(3)}$

となることが決まっており、$s_{x,y}^{(1,2,3)}$への+1、−1の割り振りのパターンが確率的に決まっていると考えることになるが、

• 上の(1)より$s_{y}^{(1)}s_{y}^{(2)}s_{x}^{(3)}=1$
• 上の(2)より$s_{y}^{(1)}s_{x}^{(2)}s_{y}^{(3)}=1$
• 上の(3)より$s_{x}^{(1)}s_{y}^{(2)}s_{y}^{(3)}=1$

となる。これを三つ掛け合わせて、$(s_{x,y}^{(1,2,3)})^{2}=1$をつかうと、

$s_{x}^{(1)}s_{x}^{(2)}s_{x}^{(3)}=1$

となるが、

• 上の(4)より $s_{x}^{(1)}s_{x}^{(2)}s_{x}^{(3)}=-1$

となり、これは隠れた変数モデルが破綻していることを示している。

量子力学を使った説明

二状態系の通常の記述を用いれば、GHZ状態は

$|GHZ\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|111\rangle -|000\rangle )$

と表せる。 スピンのx, y軸成分の2倍は

$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}$

で表されるから、 $|GHZ\rangle$ が

$\sigma _{y}^{(1)}\sigma _{y}^{(2)}\sigma _{x}^{(3)}=1,$
$\sigma _{y}^{(1)}\sigma _{x}^{(2)}\sigma _{y}^{(3)}=1,$
$\sigma _{x}^{(1)}\sigma _{y}^{(2)}\sigma _{y}^{(3)}=1,$

そして

$\sigma _{x}^{(1)}\sigma _{x}^{(2)}\sigma _{x}^{(3)}=-1$

の固有状態であることはすぐ確かめられる。