狭義凸空間とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

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狭義凸空間

(strictly convex space から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/18 14:36 UTC 版)

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中段の図における単位球は狭義凸であるが、その他の図における単位球は狭義凸ではない（それらは線分を境界として含むため）。

数学における狭義凸空間（きょうぎとつくうかん、英: strictly convex space）とは、単位球が狭義凸集合であるようなノルム線型位相空間 ( $V$ , ‖*‖) のことをいう。言い換えると、狭義凸空間とは、 $V$ の単位球 $B$ の境界 ∂ $B$ における任意の二点 $x$ と $y$ に対して、それらを通るアフィン直線 $L$ ( $x$ , $y$ ) が $x$ と $y$ でのみ境界 ∂ $B$ と交わるようなもののことをいう。狭義凸性は、その構造に関して、内積空間（すべての内積空間は狭義凸）と一般ノルム空間（すべての狭義凸空間はノルム空間）の間に位置するものである。これはまた、もし存在するなら、（狭義凸の） $X$ の部分空間 $Y$ の外側から $X$ の元に対する最適な近似の一意性を保証するものである。

性質

バナッハ空間 ( $V$ , ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、( $V$ , ‖*‖) に対する凸度（英語版） $δ$ が $δ (2) = 1$ を満たすことである。

バナッハ空間 ( $V$ , ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、 $x \neq y$ かつ $‖ x ‖ = ‖ y ‖ = 1$ であるなら $‖ x + y ‖ < 2$ が成立することである。

バナッハ空間 ( $V$ , ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、 $x \neq y$ かつ $‖ x ‖ = ‖ y ‖ = 1$ であるなら $‖ αx + (1 - α) y ‖ < 1$ がすべての $0 < α < 1$ に対して成立することである。

バナッハ空間 ( $V$ , ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、 $x \neq 0, y \neq 0$ かつ $‖ x + y ‖ = ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ であるなら $x$ = $cy$ がある定数 $c$ > $0$ に対して成り立つことである。

参考文献

Goebel, Kazimierz (1970). “Convexity of balls and fixed-point theorems for mappings with nonexpansive square”. Compositio Mathematica 22 (3): 269–274.