rank(A) = rank(AT)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 14:27 UTC 版)
「階数因数分解」の記事における「rank(A) = rank(AT)」の解説
階数因数分解から直ちに従う帰結として、 A {\displaystyle A} の階数はその転置行列 A T {\displaystyle A^{\text{T}}} の階数と等しい、というものがある。すると A {\displaystyle A} の列は A T {\displaystyle A^{\text{T}}} の行であることから、 A {\displaystyle A} の列階数と行階数は等しいことが分かる。 証明：これが真であることを示すために、はじめに行列の「階数」とはその「列階数」を意味するものであると定義しておく。 A = C F {\displaystyle A=CF} より、 A T = F T C T {\displaystyle A^{\text{T}}=F^{\text{T}}C^{\text{T}}} が従う。行列乗算（英語版）の定義から、この等式は A T {\displaystyle A^{\text{T}}} の各列が F T {\displaystyle F^{\text{T}}} の列の線型結合であることを意味する。したがって、 A T {\displaystyle A^{\text{T}}} の列空間は F T {\displaystyle F^{\text{T}}} の列空間に含まれるものであることが分かり、したがって rank( A T {\displaystyle A^{\text{T}}} ) ≤ rank( F T {\displaystyle F^{\text{T}}} ) が成立する。今 F T {\displaystyle F^{\text{T}}} は n {\displaystyle n} × r {\displaystyle r} 行列であるので、 F T {\displaystyle F^{\text{T}}} には r {\displaystyle r} 個の列が存在し、したがって rank( A T {\displaystyle A^{\text{T}}} ) ≤ r {\displaystyle r} = rank( A {\displaystyle A} ) が成立する。これより rank( A T ) {\displaystyle A^{\text{T}})} ≤ rank( A {\displaystyle A} ) が示された。続いて、その逆の不等式が成立することを示すために、 A T {\displaystyle A^{\text{T}}} に対して上述の結果を適用する。 ( A T ) T {\displaystyle (A^{\text{T}})^{\text{T}}} = A {\displaystyle A} なので、rank( A {\displaystyle A} ) = rank( ( A T ) T ) {\displaystyle (A^{\text{T}})^{\text{T}})} ≤ rank( A T {\displaystyle A^{\text{T}}} ) と書くことが出来る。このことから rank( A ) {\displaystyle A)} ≤ rank( A T {\displaystyle A^{\text{T}}} ) が示される。したがって、rank( A T ) {\displaystyle A^{\text{T}})} ≤ rank( A {\displaystyle A} ) かつ rank( A {\displaystyle A} ) ≤ rank( A T {\displaystyle A^{\text{T}}} ) であることから、rank( A {\displaystyle A} ) = rank( A T {\displaystyle A^{\text{T}}} ) が示された。
※この「rank(A) = rank(AT)」の解説は、「階数因数分解」の解説の一部です。
「rank(A) = rank(AT)」を含む「階数因数分解」の記事については、「階数因数分解」の概要を参照ください。
- rank = rankのページへのリンク
